Номер 742, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему уравнений (742—744).

742. 1) $\begin{cases} 2x + y = 2, \\ 6x - 2y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 6y = 4, \\ 2x - 3y = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + 7y = 2, \\ 5x + 13y = 12; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 5x + y = 3, \\ 9x + 2y = 4. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x + y = 2 \\ 6x - 2y = 1 \end{cases} $$ Для решения этой системы удобно использовать метод сложения (устранения переменной). Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными: $$ \begin{cases} 2(2x + y) = 2 \cdot 2 \\ 6x - 2y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x + 2y = 4 \\ 6x - 2y = 1 \end{cases} $$ Теперь сложим два уравнения системы: $$ (4x + 6x) + (2y - 2y) = 4 + 1 $$ $$ 10x = 5 $$ $$ x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $$ Подставим найденное значение x в первое исходное уравнение, чтобы найти y: $$ 2 \cdot \frac{1}{2} + y = 2 $$ $$ 1 + y = 2 $$ $$ y = 1 $$ Проверим, подставив значения во второе уравнение: $6 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$. Верно.
Ответ: $(\frac{1}{2}; 1)$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + 6y = 4 \\ 2x - 3y = 3 \end{cases} $$ Используем метод сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными: $$ \begin{cases} x + 6y = 4 \\ 2(2x - 3y) = 2 \cdot 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 6y = 4 \\ 4x - 6y = 6 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы: $$ (x + 4x) + (6y - 6y) = 4 + 6 $$ $$ 5x = 10 $$ $$ x = 2 $$ Подставим значение x в первое исходное уравнение: $$ 2 + 6y = 4 $$ $$ 6y = 2 $$ $$ y = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ Проверим, подставив значения во второе уравнение: $2 \cdot 2 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 4 - 1 = 3$. Верно.
Ответ: $(2; \frac{1}{3})$.

3) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + 7y = 2 \\ 5x + 13y = 12 \end{cases} $$ Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим x: $$ x = 2 - 7y $$ Подставим это выражение во второе уравнение системы: $$ 5(2 - 7y) + 13y = 12 $$ $$ 10 - 35y + 13y = 12 $$ $$ 10 - 22y = 12 $$ $$ -22y = 12 - 10 $$ $$ -22y = 2 $$ $$ y = -\frac{2}{22} = -\frac{1}{11} $$ Теперь найдем x, подставив значение y в выражение для x: $$ x = 2 - 7 \left(-\frac{1}{11}\right) = 2 + \frac{7}{11} = \frac{22}{11} + \frac{7}{11} = \frac{29}{11} $$ Проверим, подставив значения во второе уравнение: $5 \cdot \frac{29}{11} + 13 \cdot (-\frac{1}{11}) = \frac{145}{11} - \frac{13}{11} = \frac{132}{11} = 12$. Верно.
Ответ: $(\frac{29}{11}; -\frac{1}{11})$.

4) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 5x + y = 3 \\ 9x + 2y = 4 \end{cases} $$ Применим метод подстановки. Из первого уравнения легко выразить y: $$ y = 3 - 5x $$ Подставим это выражение во второе уравнение системы: $$ 9x + 2(3 - 5x) = 4 $$ $$ 9x + 6 - 10x = 4 $$ $$ -x + 6 = 4 $$ $$ -x = 4 - 6 $$ $$ -x = -2 $$ $$ x = 2 $$ Найдем y, подставив значение x в выражение для y: $$ y = 3 - 5 \cdot 2 = 3 - 10 = -7 $$ Проверим, подставив значения во второе уравнение: $9 \cdot 2 + 2 \cdot (-7) = 18 - 14 = 4$. Верно.
Ответ: $(2; -7)$.