Номер 747, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

747. Подобрать такие значения $a$ и $c$, чтобы система уравнений

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ ax + 3y = c \end{cases}$$

имела:

1) единственное решение;

2) бесконечно много решений;

3) не имела решений.

Рассмотрим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ ax + 3y = c \end{cases} $$

Это система двух линейных уравнений с двумя переменными. Общий вид такой системы:

$$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $$

В нашем случае коэффициенты равны: $A_1=1$, $B_1=1$, $C_1=5$, $A_2=a$, $B_2=3$, $C_2=c$. Количество решений системы зависит от соотношения этих коэффициентов.

1) единственное решение;

Система имеет единственное решение, если прямые, которые задают уравнения, пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны, то есть когда отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$. Математически это условие выражается так:

$$ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $$

Подставим значения из нашей системы:

$$ \frac{1}{a} \neq \frac{1}{3} $$

Это неравенство выполняется, если $a \neq 3$. При этом параметр $c$ может принимать любое значение, так как он влияет только на свободный член, а не на наклон прямой. Чтобы подобрать конкретные значения, выберем любое число $a$, не равное 3, и любое число $c$.

Ответ: система имеет единственное решение при $a \neq 3$ и любом значении $c$. Например, можно подобрать $a=2, c=5$.

2) бесконечно много решений;

Система имеет бесконечно много решений, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что все коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого. Условие для этого:

$$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $$

Подставим наши значения:

$$ \frac{1}{a} = \frac{1}{3} = \frac{5}{c} $$

Из равенства $ \frac{1}{a} = \frac{1}{3} $ следует, что $a=3$. Из равенства $ \frac{1}{3} = \frac{5}{c} $ следует, что $c = 3 \cdot 5 = 15$. Следовательно, система имеет бесконечно много решений только при этих конкретных значениях $a$ и $c$.

Ответ: $a=3, c=15$.

3) не имела решений.

Система не имеет решений, если уравнения описывают параллельные, но не совпадающие прямые. Это означает, что отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов. Условие для коэффициентов:

$$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $$

Подставим наши значения:

$$ \frac{1}{a} = \frac{1}{3} \neq \frac{5}{c} $$

Из равенства $ \frac{1}{a} = \frac{1}{3} $ получаем $a=3$. Из неравенства $ \frac{1}{3} \neq \frac{5}{c} $ получаем $c \neq 3 \cdot 5$, то есть $c \neq 15$. Таким образом, чтобы система не имела решений, нужно выбрать $a=3$ и любое значение $c$, не равное 15.

Ответ: система не имеет решений при $a = 3$ и $c \neq 15$. Например, можно подобрать $a=3, c=10$.