Номер 746, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

746. Показать, что система уравнений имеет бесконечно много решений:

1) $\begin{cases} x = 5 - y, \\ y = 5 - x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + 3y = 13, \\ y = \frac{13 - 2x}{3}. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} x = 5 - y, \\ y = 5 - x; \end{cases} $
Чтобы доказать, что система имеет бесконечно много решений, нужно показать, что уравнения в системе эквивалентны, то есть являются разными формами записи одного и того же линейного уравнения.
Преобразуем оба уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.
Для первого уравнения $x = 5 - y$:
Перенесем $y$ в левую часть уравнения, изменив знак:
$x + y = 5$.
Для второго уравнения $y = 5 - x$:
Перенесем $x$ в левую часть уравнения, изменив знак:
$x + y = 5$.
Так как оба уравнения приводятся к одному и тому же виду $x + y = 5$, они описывают одну и ту же прямую на координатной плоскости. Любая точка этой прямой является решением как первого, так и второго уравнения, следовательно, система имеет бесконечно много решений.
Также можно использовать метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения ($y = 5 - x$) в первое уравнение:
$x = 5 - (5 - x)$
$x = 5 - 5 + x$
$x = x$
Полученное тождество $x=x$ (или $0=0$) означает, что система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: Уравнения в системе эквивалентны ($x+y=5$), поэтому система имеет бесконечно много решений.

2) Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} 2x + 3y = 13, \\ y = \frac{13 - 2x}{3}; \end{cases} $
Проверим, являются ли эти уравнения эквивалентными. Для этого преобразуем второе уравнение.
Возьмем второе уравнение: $y = \frac{13 - 2x}{3}$.
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$3y = 3 \cdot \frac{13 - 2x}{3}$
$3y = 13 - 2x$
Теперь перенесем член $-2x$ в левую часть уравнения с противоположным знаком:
$2x + 3y = 13$.
Полученное уравнение полностью совпадает с первым уравнением системы. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую, и любая точка на этой прямой является решением системы. Следовательно, система имеет бесконечно много решений.
Альтернативно, применим метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$2x + 3 \left(\frac{13 - 2x}{3}\right) = 13$
Сократим множитель 3:
$2x + (13 - 2x) = 13$
$2x - 2x + 13 = 13$
$13 = 13$
Полученное верное числовое равенство $13 = 13$ (или $0=0$) подтверждает, что система имеет бесконечно много решений.
Ответ: Уравнения в системе эквивалентны ($2x+3y=13$), поэтому система имеет бесконечно много решений.