Номер 745, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

745. Показать, что система уравнений не имеет решений:

1) $ \begin{cases} 2x + y = 8, \\ 10x + 5y = 10; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x + 8y = -1, \\ x + 2\frac{2}{3}y = 5. \end{cases} $

1) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 8, \\ 10x + 5y = 10. \end{cases} $
Чтобы показать, что система не имеет решений, можно преобразовать уравнения. Умножим первое уравнение на 5:
$5 \cdot (2x + y) = 5 \cdot 8$
$10x + 5y = 40$
Теперь наша система выглядит следующим образом: $ \begin{cases} 10x + 5y = 40, \\ 10x + 5y = 10. \end{cases} $
Левые части уравнений идентичны, а правые — различны. Выражение $10x + 5y$ не может одновременно быть равным 40 и 10. Это противоречие.
Если вычесть второе уравнение из первого, мы получим:
$(10x + 5y) - (10x + 5y) = 40 - 10$
$0 = 30$
Полученное неверное числовое равенство доказывает, что система несовместна и не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.

2) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x + 8y = -1, \\ x + 2\frac{2}{3}y = 5. \end{cases} $
Сначала преобразуем смешанное число во втором уравнении в неправильную дробь:
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 3x + 8y = -1, \\ x + \frac{8}{3}y = 5. \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 3, чтобы избавиться от дробного коэффициента:
$3 \cdot (x + \frac{8}{3}y) = 3 \cdot 5$
$3x + 8y = 15$
Теперь наша система выглядит так: $ \begin{cases} 3x + 8y = -1, \\ 3x + 8y = 15. \end{cases} $
Как и в предыдущем случае, левые части уравнений равны, а правые — нет. Это невозможно. Вычитая одно уравнение из другого, получаем:
$(3x + 8y) - (3x + 8y) = -1 - 15$
$0 = -16$
Это неверное равенство, следовательно, система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.