Номер 754, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

754. Во всех строках некоторой страницы книги одинаковое число букв. Если на этой странице уменьшить число строк на 4, а число букв в строке на 5, то число букв на всей странице уменьшится на 360. Если же на странице увеличить число строк на 3, а число букв в строке на 2, то на странице поместится на 228 букв больше, чем было. Определить число строк и число букв в строке на этой странице книги.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — исходное количество строк на странице, а $y$ — исходное количество букв в одной строке. В таком случае общее количество букв на странице равно произведению $x \cdot y$.

Рассмотрим первое условие. Если число строк уменьшить на 4, их станет $(x - 4)$. Если число букв в строке уменьшить на 5, их станет $(y - 5)$. Новое общее число букв на странице будет $(x - 4)(y - 5)$. По условию, это значение на 360 меньше исходного. Составим первое уравнение: $$xy - (x - 4)(y - 5) = 360$$ Раскроем скобки и упростим уравнение: $$xy - (xy - 5x - 4y + 20) = 360$$ $$xy - xy + 5x + 4y - 20 = 360$$ $$5x + 4y = 360 + 20$$ $$5x + 4y = 380$$

Теперь рассмотрим второе условие. Если число строк увеличить на 3, их станет $(x + 3)$. Если число букв в строке увеличить на 2, их станет $(y + 2)$. Новое общее число букв составит $(x + 3)(y + 2)$. По условию, это значение на 228 больше исходного. Составим второе уравнение: $$(x + 3)(y + 2) - xy = 228$$ Раскроем скобки и упростим: $$xy + 2x + 3y + 6 - xy = 228$$ $$2x + 3y = 228 - 6$$ $$2x + 3y = 222$$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} 5x + 4y = 380 \\ 2x + 3y = 222 \end{cases} $$ Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5, чтобы исключить переменную $x$: $$ \begin{cases} 10x + 8y = 760 \\ -10x - 15y = -1110 \end{cases} $$ Теперь сложим эти два уравнения: $$(10x + 8y) + (-10x - 15y) = 760 - 1110$$ $$-7y = -350$$ $$y = \frac{-350}{-7}$$ $$y = 50$$

Мы нашли количество букв в строке. Теперь подставим значение $y = 50$ в любое из исходных уравнений, например, во второе ($2x + 3y = 222$): $$2x + 3(50) = 222$$ $$2x + 150 = 222$$ $$2x = 222 - 150$$ $$2x = 72$$ $$x = \frac{72}{2}$$ $$x = 36$$

Таким образом, первоначально на странице было 36 строк, а количество букв в каждой строке — 50.

Ответ: 36 строк и 50 букв в строке.