Номер 2, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

2. (Задача Бхаскары.) Некто сказал другу: «Дай 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество рупий у первого человека (того, кто заговорил первым), а $y$ — количество рупий у его друга.

Из первого условия («Дай 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя») следует, что если у первого станет $x + 100$ рупий, а у второго останется $y - 100$ рупий, то сумма первого будет вдвое больше. Это дает нам первое уравнение:

$x + 100 = 2(y - 100)$

Из второго условия («Дай мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя») следует, что если у друга станет $y + 10$ рупий, а у первого останется $x - 10$ рупий, то сумма друга будет вшестеро больше. Это дает нам второе уравнение:

$y + 10 = 6(x - 10)$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases}$

Сначала упростим оба уравнения. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x + 100 = 2y - 200$

$x = 2y - 300$

Упростим второе уравнение:

$y + 10 = 6x - 60$

$6x - y = 70$

Теперь подставим выражение для $x$ во второе упрощенное уравнение:

$6(2y - 300) - y = 70$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$12y - 1800 - y = 70$

$11y = 1800 + 70$

$11y = 1870$

$y = \frac{1870}{11} = 170$

Таким образом, у друга было 170 рупий. Теперь найдем количество рупий у первого человека, подставив найденное значение $y$:

$x = 2y - 300 = 2 \cdot 170 - 300 = 340 - 300 = 40$

Итак, у первого человека было 40 рупий, а у его друга — 170 рупий.

Проверим: если первый получит 100 рупий, у него станет $40 + 100 = 140$, а у друга останется $170 - 100 = 70$ ($140 = 2 \cdot 70$); если второй получит 10 рупий, у него станет $170 + 10 = 180$, а у первого останется $40 - 10 = 30$ ($180 = 6 \cdot 30$). Оба условия выполняются.

Ответ: У первого человека было 40 рупий, у второго — 170 рупий.