Страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Перечислить этапы решения текстовой задачи с помощью системы уравнений.

Решение текстовой задачи с помощью системы уравнений можно разбить на несколько последовательных этапов. Этот метод применяется, когда в задаче есть две или более неизвестные величины, связанные между собой различными условиями.

1. Этап 1: Анализ условия задачи и составление математической модели

   На этом этапе необходимо внимательно прочитать условие задачи, чтобы понять суть описанной ситуации. Следует выделить:

   • основные величины, о которых идет речь в задаче;
   • известные значения этих величин (данные);
   • неизвестные величины, которые требуется найти (искомые);
   • связи и зависимости между величинами, описанные в условии.

   Результатом этого этапа является так называемая математическая модель – словесное описание того, как величины связаны между собой.

2. Этап 2: Введение переменных

   На втором этапе необходимо выбрать неизвестные величины, которые будут обозначены переменными (например, $x$, $y$, $z$, ...). Обычно в качестве переменных выбирают именно те величины, которые требуется найти в задаче. Важно четко определить, что означает каждая введенная переменная, включая единицы измерения, если они есть. Например: "Пусть $x$ км/ч – скорость первого пешехода, а $y$ км/ч – скорость второго пешехода".

3. Этап 3: Составление системы уравнений

   Это ключевой этап, на котором происходит перевод текстовой информации с обычного языка на математический. Используя введенные переменные, нужно составить уравнения, каждое из которых математически описывает одно из условий или одну из связей, указанных в задаче. Количество независимых уравнений должно соответствовать количеству введенных переменных. Все составленные уравнения объединяются в систему. Например, если в задаче говорится, что "сумма двух чисел равна 15", а "их разность равна 3", и мы ввели переменные $x$ и $y$ для этих чисел, то система будет выглядеть так:

   $ \begin{cases} x + y = 15 \\ x - y = 3 \end{cases} $

4. Этап 4: Решение системы уравнений

   На четвертом этапе необходимо решить полученную систему уравнений, используя один из известных алгебраических методов:

   • Метод подстановки: из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют полученное выражение в другое уравнение системы.
   • Метод алгебраического сложения (или вычитания): уравнения системы умножают на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами, а затем почленно складывают уравнения.
   • Графический метод: строят графики каждого уравнения системы в одной координатной плоскости и находят координаты точки их пересечения (если она есть).

   В результате решения системы находятся численные значения для каждой из введенных переменных.

5. Этап 5: Интерпретация полученного решения и запись ответа

   Последний этап заключается в проверке и осмыслении найденных значений. Необходимо:

   • Проверить, соответствуют ли найденные значения смыслу задачи (например, скорость, масса, длина не могут быть отрицательными).
   • Соотнести полученные значения с тем, что обозначала каждая переменная.
   • Сформулировать развернутый ответ на вопрос, поставленный в условии задачи. Ответ должен быть ясным и полным.

   Например, если было найдено $x=9$ и $y=6$, а вопрос был "Найдите эти числа", то ответ будет: "Искомые числа – 9 и 6".

Ответ:

Этапы решения текстовой задачи с помощью системы уравнений:

1. Анализ условия задачи, выделение известных и искомых величин и связей между ними.
2. Введение переменных для обозначения искомых величин.
3. Составление системы уравнений на основе условий задачи.
4. Решение полученной системы уравнений одним из алгебраических методов (подстановки, сложения и др.).
5. Интерпретация результатов, проверка их соответствия условию задачи и запись ответа.

2. Объяснить необходимость выполнения третьего этапа решения задач с помощью уравнений.

Решение текстовых задач с помощью уравнений традиционно делится на три основных этапа:

1. Составление математической модели (анализ условия, введение переменной и составление уравнения).
2. Работа с математической моделью (непосредственно решение полученного уравнения).
3. Интерпретация результата и ответ на вопрос задачи.

Третий этап является неотъемлемой и критически важной частью решения, и его необходимость обусловлена несколькими причинами.

1. Проверка соответствия найденного корня вопросу задачи

Часто переменная, которую мы вводим для составления уравнения (например, $x$), является лишь промежуточной величиной, а не конечным ответом на вопрос задачи. После нахождения значения $x$ необходимо вернуться к условию задачи и выполнить дополнительные действия, чтобы найти искомую величину.

Пример: Длина прямоугольника на 3 см больше его ширины, а периметр равен 26 см. Найдите площадь прямоугольника.

• Этап 1: Пусть ширина равна $x$ см, тогда длина — $(x+3)$ см. Уравнение периметра: $2(x + (x+3)) = 26$.
• Этап 2: Решаем уравнение: $2(2x+3) = 26 \Rightarrow 2x+3 = 13 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x=5$.
• Этап 3: Мы нашли $x=5$. Это ширина прямоугольника. Но вопрос задачи — найти площадь. Для этого сначала находим длину: $5+3=8$ см. Затем вычисляем площадь: $S = 5 \times 8 = 40$ см². Если бы мы остановились на втором этапе, ответ «5» был бы неверным.

2. Проверка решения на соответствие условиям задачи и здравому смыслу

Математическая модель (уравнение) может иметь корни, которые являются формально верными, но не имеют смысла в контексте реальной ситуации, описанной в задаче. Такие корни называют посторонними для данной задачи, и их необходимо отсеять.

• Ограничения по физическому смыслу: Величины, такие как длина, масса, скорость, время, не могут быть отрицательными.
  Пример: Решая задачу на движение, мы можем получить квадратное уравнение с двумя корнями, например, $v_1 = 10$ и $v_2 = -2$. Так как скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -2$ отбрасывается как не соответствующий условию.
• Ограничения по типу числа: Количество людей, предметов, этажей должно быть целым положительным числом.
  Пример: Если задача спрашивает о количестве учеников в классе, и в результате решения уравнения мы получаем $x_1 = 30$ и $x_2 = 30.5$, то дробный корень $x_2$ очевидно не подходит.
• Ограничения, вытекающие из условия (область допустимых значений): Иногда само условие накладывает ограничения на переменную. Например, при решении задачи $\frac{10}{x} + \frac{10}{x-2} = 3$, мы получаем корни $x_1 = 5$ и $x_2 = \frac{4}{3}$. Если $x$ — это скорость лодки, а $2$ — скорость течения, то для движения против течения необходимо, чтобы $x > 2$. Следовательно, корень $x_2 = \frac{4}{3}$ не удовлетворяет этому условию и является посторонним.

3. Формулировка окончательного ответа

Последний этап включает в себя не только проверку, но и грамотную запись финального ответа. Ответ должен быть полным, ясным, содержать правильные единицы измерения и точно соответствовать вопросу, поставленному в задаче.

Например, недостаточно просто написать «40». Правильный ответ должен быть сформулирован так: «Площадь прямоугольника равна 40 см²».

Таким образом, третий этап решения задачи — это не формальность, а ключевой момент, который связывает абстрактную математическую модель с реальной задачей. Он гарантирует, что полученный ответ является не просто корнем уравнения, а осмысленным, корректным и полным решением поставленной проблемы.

Ответ:

Третий этап решения задач с помощью уравнений (интерпретация результата) необходим для того, чтобы:

1. Найти ответ на поставленный в задаче вопрос. Часто найденный корень уравнения $x$ не является конечным ответом, а служит лишь для нахождения искомой величины (например, найти площадь, зная сторону).
2. Проверить осмысленность полученного решения. Необходимо отсеять корни, которые не соответствуют реальным условиям задачи (например, отрицательная длина, дробное количество людей) или нарушают область допустимых значений, заданную условием.
3. Сформулировать полный и правильный ответ. Ответ должен быть дан в явном виде, с указанием единиц измерения и в полном соответствии с вопросом задачи.

Без этого этапа решение является неполным и может привести к неверному ответу, даже если само уравнение было составлено и решено правильно.

3. Всегда ли неизвестными обозначают величины, которые требуется найти в задаче?

Нет, не всегда. При решении текстовых задач с помощью уравнений за неизвестную переменную (например, $x$) не всегда принимают именно ту величину, которую требуется найти по условию. Иногда гораздо удобнее обозначить за $x$ некоторую вспомогательную величину. Такой подход часто позволяет составить более простое и наглядное уравнение. После нахождения значения этой вспомогательной переменной, выполняют одно или несколько дополнительных действий, чтобы получить окончательный ответ на вопрос задачи.

Рассмотрим наглядный пример.

Задача: Веревку длиной 45 метров разрезали на две части так, что одна часть оказалась в 4 раза длиннее другой. Найдите длину большей части.

Решение:

В этой задаче требуется найти длину большей части. Конечно, можно обозначить ее за $x$. Тогда длина меньшей части будет $x/4$, а уравнение примет вид $x + \frac{x}{4} = 45$. Решать такое уравнение с дробями возможно, но не всегда удобно.

Поступим иначе. Обозначим за неизвестную $x$ длину меньшей части веревки. Это не та величина, которую просят найти, но это сделает решение проще. Если длина меньшей части равна $x$ метров, то, согласно условию, длина большей части будет в 4 раза больше, то есть $4x$ метров. Общая длина веревки составляет 45 метров, следовательно, мы можем составить уравнение, сложив длины обеих частей:

$x + 4x = 45$

Теперь решим это простое уравнение:

$5x = 45$

$x = \frac{45}{5}$

$x = 9$

Итак, мы нашли, что $x=9$ метров. Важно помнить, что $x$ – это длина меньшей части. В вопросе задачи требуется найти длину большей части. Для этого выполним заключительное действие:

$4x = 4 \cdot 9 = 36$ (метров).

Таким образом, мы видим, что за неизвестную была принята величина, которая не является искомым ответом, но ее нахождение — это ключевой шаг к правильному решению.

Ответ: Нет, неизвестными не всегда обозначают величины, которые требуется найти в задаче. Часто в качестве неизвестной выбирают вспомогательную величину, которая позволяет проще составить математическую модель (уравнение). После нахождения этой вспомогательной величины производят дополнительные вычисления, чтобы получить конечный ответ.