Страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Способом подстановки решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} 7x - 6y = 20, \\ 3x - y = 7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 5x + 9y = -1, \\ x + 2y = 4. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 6y = 20 \\ 3x - y = 7 \end{cases} $

Для решения системы методом подстановки необходимо выразить одну переменную через другую из одного из уравнений системы.

Из второго уравнения $3x - y = 7$ удобнее всего выразить переменную $y$:

$y = 3x - 7$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы $7x - 6y = 20$:

$7x - 6(3x - 7) = 20$

Решим это уравнение относительно переменной $x$. Сначала раскроем скобки:

$7x - 18x + 42 = 20$

Приведем подобные слагаемые:

$-11x + 42 = 20$

Перенесем свободные члены в правую часть уравнения:

$-11x = 20 - 42$

$-11x = -22$

Найдем $x$:

$x = \frac{-22}{-11}$

$x = 2$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, подставим его в выражение для $y$, которое мы получили ранее: $y = 3x - 7$.

$y = 3 \cdot 2 - 7$

$y = 6 - 7$

$y = -1$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; -1)$.

Ответ: $(2; -1)$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 9y = -1 \\ x + 2y = 4 \end{cases} $

В этой системе удобнее всего выразить переменную $x$ из второго уравнения $x + 2y = 4$:

$x = 4 - 2y$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы $5x + 9y = -1$:

$5(4 - 2y) + 9y = -1$

Решим полученное уравнение относительно переменной $y$. Раскроем скобки:

$20 - 10y + 9y = -1$

Приведем подобные слагаемые:

$20 - y = -1$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$-y = -1 - 20$

$-y = -21$

Найдем $y$:

$y = 21$

Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y=21$ в выражение для $x$: $x = 4 - 2y$.

$x = 4 - 2 \cdot 21$

$x = 4 - 42$

$x = -38$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(-38; 21)$.

Ответ: $(-38; 21)$.

4. Способом алгебраического сложения решить систему уравнений:

1) $ \begin{cases} -5x + 3y = 11, \\ 5x + 4y = 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 4x - 2y = 8, \\ 3x - 2y = 3. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} -5x + 3y = 11, \\ 5x + 4y = 3. \end{cases} $

Для решения системы методом алгебраического сложения сложим почленно левые и правые части уравнений. Коэффициенты при переменной $x$ ($-5$ и $5$) являются противоположными числами, поэтому при сложении они взаимно уничтожатся.

$(-5x + 3y) + (5x + 4y) = 11 + 3$

$-5x + 5x + 3y + 4y = 14$

$7y = 14$

Теперь найдем значение $y$:

$y = \frac{14}{7}$

$y = 2$

Подставим найденное значение $y=2$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$5x + 4y = 3$

$5x + 4 \cdot 2 = 3$

$5x + 8 = 3$

$5x = 3 - 8$

$5x = -5$

$x = \frac{-5}{5}$

$x = -1$

Проверим, подставив найденные значения в первое уравнение:

$-5(-1) + 3(2) = 5 + 6 = 11$. Верно.

Решением системы является пара чисел $(-1; 2)$.

Ответ: $(-1; 2)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x - 2y = 8, \\ 3x - 2y = 3. \end{cases} $

В этой системе коэффициенты при переменной $y$ одинаковы. Чтобы исключить переменную $y$, вычтем из первого уравнения второе.

$(4x - 2y) - (3x - 2y) = 8 - 3$

Раскроем скобки:

$4x - 2y - 3x + 2y = 5$

$(4x - 3x) + (-2y + 2y) = 5$

$x = 5$

Подставим найденное значение $x=5$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$3x - 2y = 3$

$3 \cdot 5 - 2y = 3$

$15 - 2y = 3$

$-2y = 3 - 15$

$-2y = -12$

$y = \frac{-12}{-2}$

$y = 6$

Проверим, подставив найденные значения в первое уравнение:

$4(5) - 2(6) = 20 - 12 = 8$. Верно.

Решением системы является пара чисел $(5; 6)$.

Ответ: $(5; 6)$.

712. Найти координаты точек пересечения с осями координат прямой:

1) $x - y + 5 = 0;$

2) $3x - y + 3 = 0;$

3) $2x + y = 1;$

4) $5x + 2y = 12.$

Чтобы найти координаты точек пересечения прямой с осями координат, необходимо поочередно подставить в уравнение прямой значение $0$ для каждой из координат.

• Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (осью Ox), мы принимаем $y=0$ и решаем уравнение относительно $x$. Координаты точки будут $(x, 0)$.
• Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью Oy), мы принимаем $x=0$ и решаем уравнение относительно $y$. Координаты точки будут $(0, y)$.

1) $x - y + 5 = 0$

Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$x - 0 + 5 = 0$
$x = -5$
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(-5, 0)$.

Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$0 - y + 5 = 0$
$-y = -5$
$y = 5$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0, 5)$.

Ответ: $(-5, 0)$ и $(0, 5)$.

2) $3x - y + 3 = 0$

Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$3x - 0 + 3 = 0$
$3x = -3$
$x = -1$
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$.

Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$3 \cdot 0 - y + 3 = 0$
$-y + 3 = 0$
$y = 3$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.

Ответ: $(-1, 0)$ и $(0, 3)$.

3) $2x + y = 1$

Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$2x + 0 = 1$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(\frac{1}{2}, 0)$.

Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$2 \cdot 0 + y = 1$
$y = 1$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0, 1)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 0)$ и $(0, 1)$.

4) $5x + 2y = 12$

Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$5x + 2 \cdot 0 = 12$
$5x = 12$
$x = \frac{12}{5} = 2.4$
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(\frac{12}{5}, 0)$.

Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$5 \cdot 0 + 2y = 12$
$2y = 12$
$y = 6$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0, 6)$.

Ответ: $(\frac{12}{5}, 0)$ и $(0, 6)$.

713. Построить график уравнения:

1) $y = 3x + 5;$

2) $3x + y = 1;$

3) $2y + 7x = -4;$

4) $4y - 7x - 12 = 0;$

5) $2y - 6 = 0;$

6) $5x + 10 = 0.$

1) Для построения графика уравнения $y = 3x + 5$ необходимо найти координаты двух точек, так как это линейное уравнение и его график — прямая линия.
1. Найдем точку пересечения с осью OY. Для этого подставим $x = 0$:
$y = 3 \cdot 0 + 5 = 5$.
Получили первую точку: $(0; 5)$.
2. Найдем вторую точку, подставив произвольное значение $x$, например, $x = -2$:
$y = 3 \cdot (-2) + 5 = -6 + 5 = -1$.
Получили вторую точку: $(-2; -1)$.
3. Отметим на координатной плоскости точки $(0; 5)$ и $(-2; -1)$ и проведем через них прямую.
Ответ: Графиком уравнения является прямая линия, проходящая через точки $(0; 5)$ и $(-2; -1)$.

2) Преобразуем уравнение $3x + y = 1$ к виду линейной функции $y = kx + b$, выразив $y$:
$y = -3x + 1$.
Это линейное уравнение, его график — прямая. Найдем две точки для построения.
1. Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x = 0$:
$y = -3 \cdot 0 + 1 = 1$.
Первая точка: $(0; 1)$.
2. Найдем вторую точку, подставив, например, $x = 1$:
$y = -3 \cdot 1 + 1 = -3 + 1 = -2$.
Вторая точка: $(1; -2)$.
3. Отметим на координатной плоскости точки $(0; 1)$ и $(1; -2)$ и проведем через них прямую.
Ответ: Графиком уравнения является прямая линия, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(1; -2)$.

3) Преобразуем уравнение $2y + 7x = -4$ к виду линейной функции $y = kx + b$:
$2y = -7x - 4$
$y = -\frac{7}{2}x - 2$ или $y = -3.5x - 2$.
Это линейное уравнение, его график — прямая. Найдем две точки.
1. Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x = 0$:
$y = -3.5 \cdot 0 - 2 = -2$.
Первая точка: $(0; -2)$.
2. Для получения целочисленных координат выберем $x$ таким, чтобы произведение $-3.5x$ было целым. Например, $x = -2$:
$y = -3.5 \cdot (-2) - 2 = 7 - 2 = 5$.
Вторая точка: $(-2; 5)$.
3. Отметим на координатной плоскости точки $(0; -2)$ и $(-2; 5)$ и проведем через них прямую.
Ответ: Графиком уравнения является прямая линия, проходящая через точки $(0; -2)$ и $(-2; 5)$.

4) Преобразуем уравнение $4y - 7x - 12 = 0$ к виду линейной функции $y = kx + b$:
$4y = 7x + 12$
$y = \frac{7}{4}x + 3$ или $y = 1.75x + 3$.
Это линейное уравнение, его график — прямая. Найдем две точки.
1. Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x = 0$:
$y = \frac{7}{4} \cdot 0 + 3 = 3$.
Первая точка: $(0; 3)$.
2. Для получения целочисленных координат выберем $x$ кратным 4, например, $x = -4$:
$y = \frac{7}{4} \cdot (-4) + 3 = -7 + 3 = -4$.
Вторая точка: $(-4; -4)$.
3. Отметим на координатной плоскости точки $(0; 3)$ и $(-4; -4)$ и проведем через них прямую.
Ответ: Графиком уравнения является прямая линия, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(-4; -4)$.

5) В уравнении $2y - 6 = 0$ отсутствует переменная $x$. Решим его относительно $y$:
$2y = 6$
$y = 3$.
Это уравнение задает прямую, на которой ордината (координата $y$) любой точки равна 3, при любом значении абсциссы (координаты $x$). Такая прямая параллельна оси абсцисс (Ох).
Ответ: Графиком уравнения является горизонтальная прямая $y=3$, параллельная оси Ох и проходящая через точку $(0; 3)$ на оси Оу.

6) В уравнении $5x + 10 = 0$ отсутствует переменная $y$. Решим его относительно $x$:
$5x = -10$
$x = -2$.
Это уравнение задает прямую, на которой абсцисса (координата $x$) любой точки равна -2, при любом значении ординаты (координаты $y$). Такая прямая параллельна оси ординат (Оу).
Ответ: Графиком уравнения является вертикальная прямая $x=-2$, параллельная оси Оу и проходящая через точку $(-2; 0)$ на оси Ох.

одной системе координат построить графики уравнений $y=2x+1$ и $x+y=1$. Найти координаты точки их пересечения. Проверить, обращают ли координаты точки пересечения графиков каждое из уравнений в верное равенство.

Построение графиков уравнений

Для построения графиков уравнений $y=2x+1$ и $x+y=1$ необходимо найти координаты как минимум двух точек для каждой прямой, так как оба уравнения являются линейными.

1. Для графика уравнения $y=2x+1$:

• Если $x=0$, то $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку с координатами $(0, 1)$.
• Если $x=-1$, то $y = 2 \cdot (-1) + 1 = -2 + 1 = -1$. Получаем точку с координатами $(-1, -1)$.

Через точки $(0, 1)$ и $(-1, -1)$ проводим первую прямую.

2. Для графика уравнения $x+y=1$ преобразуем его к виду $y=-x+1$:

• Если $x=0$, то $y = -0 + 1 = 1$. Получаем точку с координатами $(0, 1)$.
• Если $x=1$, то $y = -1 + 1 = 0$. Получаем точку с координатами $(1, 0)$.

Через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$ в той же системе координат проводим вторую прямую.

Ответ: Графики уравнений — это прямые, построенные в одной системе координат по точкам. Прямая $y=2x+1$ проходит через точки $(0, 1)$ и $(-1, -1)$, а прямая $x+y=1$ проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

Нахождение координат точки их пересечения

Координаты точки пересечения графиков являются решением системы уравнений:

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x + (2x+1) = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x + 1 = 1$

$3x = 1 - 1$

$3x = 0$

$x = 0$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать первое:

$y = 2 \cdot 0 + 1$

$y = 1$

Следовательно, точка пересечения графиков имеет координаты $(0, 1)$.

Ответ: Координаты точки пересечения $(0, 1)$.

Проверка, обращают ли координаты точки пересечения графиков каждое из уравнений в верное равенство

Подставим координаты точки пересечения $(0, 1)$ в каждое из исходных уравнений.

1. Проверка для уравнения $y=2x+1$:

Подставляем $x=0$ и $y=1$:

$1 = 2 \cdot 0 + 1$

$1 = 0 + 1$

$1 = 1$

Равенство верное.

2. Проверка для уравнения $x+y=1$:

Подставляем $x=0$ и $y=1$:

$0 + 1 = 1$

$1 = 1$

Равенство верное.

Ответ: Да, координаты точки пересечения $(0, 1)$ обращают каждое из уравнений в верное равенство.

Решить графически систему уравнений (715-717).

715. 1) $\begin{cases} y = 4x, \\ y - x = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = -3x, \\ y - x = -4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y = 2x, \\ x - y = -3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y = 3x, \\ 4x - y = 3. \end{cases}$

Для решения системы уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точки пересечения графиков и будут являться решением системы.

1) Решим систему уравнений $\begin{cases} y = 4x \\ y - x = 3 \end{cases}$.

Первое уравнение $y = 4x$ — это прямая пропорциональность. График — прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$. Для построения найдем еще одну точку: при $x = 1$, $y = 4 \cdot 1 = 4$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(1,4)$.

Второе уравнение $y - x = 3$. Преобразуем его к виду линейной функции $y = x + 3$. График — прямая. Для построения найдем две точки. При $x = 0$, $y = 3$. При $x = -3$, $y = 0$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0,3)$ и $(-3,0)$.

Построив графики в одной системе координат, мы найдем их точку пересечения. Точка пересечения имеет координаты $(1,4)$.

Проверка: подставим $x=1$ и $y=4$ в оба уравнения.
$4 = 4 \cdot 1$ (верно)
$4 - 1 = 3$ (верно)
Ответ: $(1, 4)$.

2) Решим систему уравнений $\begin{cases} y = -3x \\ y - x = -4 \end{cases}$.

Первое уравнение $y = -3x$. График — прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$. Найдем вторую точку: при $x = 1$, $y = -3 \cdot 1 = -3$. Прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(1,-3)$.

Второе уравнение $y - x = -4$. Преобразуем к виду $y = x - 4$. График — прямая. Найдем две точки: при $x = 0$, $y = -4$. При $x = 4$, $y = 0$. Прямая проходит через точки $(0,-4)$ и $(4,0)$.

Построив графики, находим, что они пересекаются в точке с координатами $(1,-3)$.

Проверка: подставим $x=1$ и $y=-3$ в оба уравнения.
$-3 = -3 \cdot 1$ (верно)
$-3 - 1 = -4$ (верно)
Ответ: $(1, -3)$.

3) Решим систему уравнений $\begin{cases} y = 2x \\ x - y = -3 \end{cases}$.

Первое уравнение $y = 2x$. График — прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$. Найдем вторую точку: при $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 = 2$. Прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(1,2)$.

Второе уравнение $x - y = -3$. Преобразуем к виду $y = x + 3$. График — прямая. Найдем две точки: при $x = 0$, $y = 3$. При $x = -3$, $y = 0$. Прямая проходит через точки $(0,3)$ и $(-3,0)$.

Построив графики, находим точку их пересечения. Она имеет координаты $(3,6)$.

Проверка: подставим $x=3$ и $y=6$ в оба уравнения.
$6 = 2 \cdot 3$ (верно)
$3 - 6 = -3$ (верно)
Ответ: $(3, 6)$.

4) Решим систему уравнений $\begin{cases} y = 3x \\ 4x - y = 3 \end{cases}$.

Первое уравнение $y = 3x$. График — прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$. Найдем вторую точку: при $x = 1$, $y = 3 \cdot 1 = 3$. Прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(1,3)$.

Второе уравнение $4x - y = 3$. Преобразуем к виду $y = 4x - 3$. График — прямая. Найдем две точки: при $x = 0$, $y = -3$. При $x = 1$, $y = 4 \cdot 1 - 3 = 1$. Прямая проходит через точки $(0,-3)$ и $(1,1)$.

Построив графики, находим точку их пересечения. Она имеет координаты $(3,9)$.

Проверка: подставим $x=3$ и $y=9$ в оба уравнения.
$9 = 3 \cdot 3$ (верно)
$4 \cdot 3 - 9 = 12 - 9 = 3$ (верно)
Ответ: $(3, 9)$.

716. 1) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x - y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + y = 1, \\ 2x - y = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + 2y = 5, \\ 2x - y = 5; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + 3y = 6, \\ 2x + y = 7. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Сложим первое уравнение со вторым, чтобы исключить переменную $y$:

$(x + y) + (x - y) = 5 + 1$

$2x = 6$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{6}{2}$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x = 3$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$3 + y = 5$

$y = 5 - 3$

$y = 2$

Проверим полученное решение $(3; 2)$, подставив значения в оба исходных уравнения:

$3 + 2 = 5$ (Верно)

$3 - 2 = 1$ (Верно)

Ответ: $(3; 2)$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ 2x - y = 3 \end{cases} $

Используем метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны. Сложим два уравнения системы:

$(2x + y) + (2x - y) = 1 + 3$

$4x = 4$

$x = 1$

Подставим значение $x = 1$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$2(1) + y = 1$

$2 + y = 1$

$y = 1 - 2$

$y = -1$

Проверим полученное решение $(1; -1)$, подставив значения в оба исходных уравнения:

$2(1) + (-1) = 2 - 1 = 1$ (Верно)

$2(1) - (-1) = 2 + 1 = 3$ (Верно)

Ответ: $(1; -1)$.

3) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x - y = 5 \end{cases} $

Для решения методом сложения, умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:

$2 \cdot (2x - y) = 2 \cdot 5$

$4x - 2y = 10$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 4x - 2y = 10 \end{cases} $

Сложим уравнения полученной системы:

$(x + 2y) + (4x - 2y) = 5 + 10$

$5x = 15$

$x = \frac{15}{5}$

$x = 3$

Подставим $x = 3$ во второе исходное уравнение:

$2(3) - y = 5$

$6 - y = 5$

$y = 6 - 5$

$y = 1$

Проверим полученное решение $(3; 1)$, подставив значения в оба исходных уравнения:

$3 + 2(1) = 3 + 2 = 5$ (Верно)

$2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$ (Верно)

Ответ: $(3; 1)$.

4) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + 3y = 6 \\ 2x + y = 7 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 7 - 2x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x + 3(7 - 2x) = 6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x + 21 - 6x = 6$

$-5x = 6 - 21$

$-5x = -15$

$x = \frac{-15}{-5}$

$x = 3$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x = 3$ в выражение для $y$:

$y = 7 - 2(3)$

$y = 7 - 6$

$y = 1$

Проверим полученное решение $(3; 1)$, подставив значения в оба исходных уравнения:

$3 + 3(1) = 3 + 3 = 6$ (Верно)

$2(3) + 1 = 6 + 1 = 7$ (Верно)

Ответ: $(3; 1)$.

717. 1) $\begin{cases} 2x + y = 8, \\ 2x - y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x + y = 2, \\ x + 2y = -6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x + y = 1, \\ y - x = 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 4x + 3y = 6, \\ 2x + y = 4; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 3x - y = -6, \\ -2x + 5y = 4; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 3x + y = 4, \\ -5x + 2y = 8. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 8 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $
Это удобнее всего решить методом алгебраического сложения. Сложим первое уравнение со вторым:
$ (2x + y) + (2x - y) = 8 + 1 $
$ 4x = 9 $
$ x = \frac{9}{4} = 2.25 $
Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$ 2 \cdot (\frac{9}{4}) + y = 8 $
$ \frac{9}{2} + y = 8 $
$ y = 8 - \frac{9}{2} = \frac{16}{2} - \frac{9}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 $
Проверим, подставив значения во второе уравнение: $2 \cdot (\frac{9}{4}) - \frac{7}{2} = \frac{9}{2} - \frac{7}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Верно.
Ответ: $x = \frac{9}{4}, y = \frac{7}{2}$ или $(2.25; 3.5)$.

2) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x + y = 2 \\ x + 2y = -6 \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$ y = 2 - 3x $
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ x + 2(2 - 3x) = -6 $
$ x + 4 - 6x = -6 $
$ -5x = -10 $
$ x = 2 $
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$ y = 2 - 3 \cdot 2 = 2 - 6 = -4 $
Ответ: $x = 2, y = -4$ или $(2; -4)$.

3) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ y - x = 4 \end{cases} $
Приведем второе уравнение к стандартному виду: $-x + y = 4$. Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$ y = 4 + x $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ 2x + (4 + x) = 1 $
$ 3x + 4 = 1 $
$ 3x = -3 $
$ x = -1 $
Теперь найдем $y$:
$ y = 4 + (-1) = 3 $
Ответ: $x = -1, y = 3$ или $(-1; 3)$.

4) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 4x + 3y = 6 \\ 2x + y = 4 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$ y = 4 - 2x $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ 4x + 3(4 - 2x) = 6 $
$ 4x + 12 - 6x = 6 $
$ -2x = 6 - 12 $
$ -2x = -6 $
$ x = 3 $
Теперь найдем $y$:
$ y = 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 $
Ответ: $x = 3, y = -2$ или $(3; -2)$.

5) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x - y = -6 \\ -2x + 5y = 4 \end{cases} $
Используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$ 15x - 5y = -30 $
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$ (15x - 5y) + (-2x + 5y) = -30 + 4 $
$ 13x = -26 $
$ x = -2 $
Подставим значение $x$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:
$ 3(-2) - y = -6 $
$ -6 - y = -6 $
$ -y = 0 $
$ y = 0 $
Ответ: $x = -2, y = 0$ или $(-2; 0)$.

6) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x + y = 4 \\ -5x + 2y = 8 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$ y = 4 - 3x $
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ -5x + 2(4 - 3x) = 8 $
$ -5x + 8 - 6x = 8 $
$ -11x = 8 - 8 $
$ -11x = 0 $
$ x = 0 $
Теперь найдем $y$:
$ y = 4 - 3 \cdot 0 = 4 $
Ответ: $x = 0, y = 4$ или $(0; 4)$.

718. Показать, что система уравнений не имеет решений:

1) $\begin{cases} y = 3x, \\ 6x - 2y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 6, \\ 2x = 1 - 2y. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = 3x, \\ 6x - 2y = 3; \end{cases} $

Для доказательства того, что система не имеет решений, воспользуемся методом подстановки. В первом уравнении переменная y уже выражена через x. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$6x - 2(3x) = 3$

Теперь решим полученное уравнение относительно x. Раскроем скобки:

$6x - 6x = 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$0 = 3$

В результате преобразований мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от значения переменных. Это означает, что не существует такой пары чисел $(x, y)$, которая бы удовлетворяла обоим уравнениям системы одновременно.

Геометрически это означает, что графики данных линейных уравнений являются параллельными прямыми, которые никогда не пересекаются. Проверим это, приведя оба уравнения к виду $y = kx + b$ (уравнение прямой с угловым коэффициентом):

• Первое уравнение: $y = 3x$. Угловой коэффициент $k_1 = 3$, смещение $b_1 = 0$.
• Второе уравнение: $6x - 2y = 3$. Выразим y: $-2y = 3 - 6x \implies 2y = 6x - 3 \implies y = 3x - 1.5$. Угловой коэффициент $k_2 = 3$, смещение $b_2 = -1.5$.

Так как угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2 = 3$), а смещения различны ($b_1 \ne b_2$), прямые параллельны.

Ответ: система не имеет решений, так как при попытке ее решить мы приходим к противоречию (неверному равенству $0 = 3$).

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 6, \\ 2x = 1 - 2y; \end{cases} $

Для начала преобразуем второе уравнение, перенеся все переменные в левую часть, чтобы система имела стандартный вид:

$2x + 2y = 1$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} x + y = 6, \\ 2x + 2y = 1; \end{cases} $

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим обе части первого уравнения на 2, чтобы коэффициенты при переменных совпали с коэффициентами во втором уравнении:

$2 \cdot (x + y) = 2 \cdot 6$

$2x + 2y = 12$

Теперь наша система имеет вид:

$ \begin{cases} 2x + 2y = 12, \\ 2x + 2y = 1; \end{cases} $

Левые части уравнений полностью совпадают, а правые — нет. Если бы у системы было решение, то выражение $2x + 2y$ должно было бы одновременно равняться и 12, и 1, что невозможно. Вычтем из первого уравнения второе:

$(2x + 2y) - (2x + 2y) = 12 - 1$

$0 = 11$

Мы получили неверное числовое равенство, что доказывает отсутствие решений у данной системы уравнений.

Геометрическая интерпретация также показывает, что прямые параллельны. Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$:

• Первое уравнение: $x + y = 6 \implies y = -x + 6$. Угловой коэффициент $k_1 = -1$.
• Второе уравнение: $2x + 2y = 1 \implies 2y = 1 - 2x \implies y = -x + 0.5$. Угловой коэффициент $k_2 = -1$.

Угловые коэффициенты равны, а смещения различны, значит, прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений, так как при ее решении мы приходим к противоречию (неверному равенству $0 = 11$).