Номер 714, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

одной системе координат построить графики уравнений $y=2x+1$ и $x+y=1$. Найти координаты точки их пересечения. Проверить, обращают ли координаты точки пересечения графиков каждое из уравнений в верное равенство.

Построение графиков уравнений

Для построения графиков уравнений $y=2x+1$ и $x+y=1$ необходимо найти координаты как минимум двух точек для каждой прямой, так как оба уравнения являются линейными.

1. Для графика уравнения $y=2x+1$:

• Если $x=0$, то $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку с координатами $(0, 1)$.
• Если $x=-1$, то $y = 2 \cdot (-1) + 1 = -2 + 1 = -1$. Получаем точку с координатами $(-1, -1)$.

Через точки $(0, 1)$ и $(-1, -1)$ проводим первую прямую.

2. Для графика уравнения $x+y=1$ преобразуем его к виду $y=-x+1$:

• Если $x=0$, то $y = -0 + 1 = 1$. Получаем точку с координатами $(0, 1)$.
• Если $x=1$, то $y = -1 + 1 = 0$. Получаем точку с координатами $(1, 0)$.

Через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$ в той же системе координат проводим вторую прямую.

Ответ: Графики уравнений — это прямые, построенные в одной системе координат по точкам. Прямая $y=2x+1$ проходит через точки $(0, 1)$ и $(-1, -1)$, а прямая $x+y=1$ проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

Нахождение координат точки их пересечения

Координаты точки пересечения графиков являются решением системы уравнений:

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x + (2x+1) = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x + 1 = 1$

$3x = 1 - 1$

$3x = 0$

$x = 0$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать первое:

$y = 2 \cdot 0 + 1$

$y = 1$

Следовательно, точка пересечения графиков имеет координаты $(0, 1)$.

Ответ: Координаты точки пересечения $(0, 1)$.

Проверка, обращают ли координаты точки пересечения графиков каждое из уравнений в верное равенство

Подставим координаты точки пересечения $(0, 1)$ в каждое из исходных уравнений.

1. Проверка для уравнения $y=2x+1$:

Подставляем $x=0$ и $y=1$:

$1 = 2 \cdot 0 + 1$

$1 = 0 + 1$

$1 = 1$

Равенство верное.

2. Проверка для уравнения $x+y=1$:

Подставляем $x=0$ и $y=1$:

$0 + 1 = 1$

$1 = 1$

Равенство верное.

Ответ: Да, координаты точки пересечения $(0, 1)$ обращают каждое из уравнений в верное равенство.