Номер 5, страница 241 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Привести пример системы двух линейных уравнений:

1) имеющей единственное решение;

2) не имеющей решений;

3) имеющей бесконечно много решений.

1) имеющей единственное решение:

Система двух линейных уравнений имеет единственное решение, если графики этих уравнений (которые являются прямыми линиями) пересекаются в одной-единственной точке. Это происходит в том случае, когда угловые коэффициенты этих прямых различны. Для системы уравнений, записанной в общем виде:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

условием существования единственного решения является неравенство отношений коэффициентов при переменных: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $.

Приведем пример такой системы:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases} $

Проверим соотношение коэффициентов: $ \frac{1}{2} \neq \frac{1}{-1} $. Условие выполняется. Чтобы найти это единственное решение, можно сложить два уравнения системы:

$(x + y) + (2x - y) = 5 + 4$

$3x = 9$

$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение:

$3 + y = 5$

$y = 2$

Таким образом, система имеет единственное решение: пара чисел $(3, 2)$.

Ответ: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases} $

2) не имеющей решений:

Система двух линейных уравнений не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны и не совпадают. Это означает, что у них одинаковые угловые коэффициенты, но разные точки пересечения с осью ординат. Для системы в общем виде это условие записывается как:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

Пример такой системы:

$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x + 2y = 5 \end{cases} $

Здесь соотношения коэффициентов: $ \frac{1}{1} = \frac{2}{2} \neq \frac{3}{5} $. Левые части уравнений идентичны, а правые — различны. Это приводит к противоречию: невозможно, чтобы одно и то же выражение $x + 2y$ одновременно равнялось и 3, и 5. Следовательно, не существует такой пары $(x, y)$, которая бы удовлетворяла обоим уравнениям. Графически это две параллельные прямые, которые никогда не пересекаются.

Ответ: $ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x + 2y = 5 \end{cases} $

3) имеющей бесконечно много решений:

Система имеет бесконечно много решений, если графики уравнений (прямые) полностью совпадают. Это происходит, когда одно уравнение можно получить из другого путем умножения на некоторое число, не равное нулю. Все коэффициенты и свободные члены пропорциональны. Для системы в общем виде это условие выглядит так:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $

Приведем пример:

$ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x - 6y = 3 \end{cases} $

Проверим соотношения коэффициентов: $ \frac{1}{3} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} $. Все отношения равны. Второе уравнение системы получается из первого умножением на 3. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Любая точка, лежащая на этой прямой, является решением системы. Например, мы можем выразить $x$ через $y$ из первого уравнения: $x = 1 + 2y$. Подставляя любое значение $y$, мы будем получать соответствующее значение $x$, и таких пар $(x, y)$ бесконечно много (например, (1, 0), (3, 1), (-1, -1) и т.д.).

Ответ: $ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x - 6y = 3 \end{cases} $