Номер 710, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

710. 1) $\begin{cases} \frac{x+3}{2} - \frac{y-2}{3} = 2, \\ \frac{x-1}{4} + \frac{y+1}{3} = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{3} = 6, \\ \frac{x+y}{4} - \frac{x-y}{3} = 6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{x+y}{2} - \frac{2y}{3} = \frac{5}{2}, \\ \frac{3x}{2} + 2y = 0. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x+3}{2} - \frac{y-2}{3} = 2 \\ \frac{x-1}{4} + \frac{y+1}{3} = 4 \end{cases} $
Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на наименьший общий знаменатель 6, а второе на 12.
$ \begin{cases} 6 \cdot (\frac{x+3}{2}) - 6 \cdot (\frac{y-2}{3}) = 6 \cdot 2 \\ 12 \cdot (\frac{x-1}{4}) + 12 \cdot (\frac{y+1}{3}) = 12 \cdot 4 \end{cases} $
Упростим каждое уравнение:
$ \begin{cases} 3(x+3) - 2(y-2) = 12 \\ 3(x-1) + 4(y+1) = 48 \end{cases} $
Раскроем скобки:
$ \begin{cases} 3x + 9 - 2y + 4 = 12 \\ 3x - 3 + 4y + 4 = 48 \end{cases} $
Приведем подобные слагаемые:
$ \begin{cases} 3x - 2y + 13 = 12 \\ 3x + 4y + 1 = 48 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 3x + 4y = 47 \end{cases} $
Теперь решим полученную систему. Вычтем из второго уравнения первое:
$(3x + 4y) - (3x - 2y) = 47 - (-1)$
$6y = 48$
$y = 8$
Подставим значение $y = 8$ в первое упрощенное уравнение $3x - 2y = -1$:
$3x - 2(8) = -1$
$3x - 16 = -1$
$3x = 15$
$x = 5$
Ответ: (5; 8)

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{3} = 6 \\ \frac{x+y}{4} - \frac{x-y}{3} = 6 \end{cases} $
Сделаем замену переменных. Пусть $a = x+y$ и $b = x-y$. Система примет вид:
$ \begin{cases} \frac{a}{2} + \frac{b}{3} = 6 \\ \frac{a}{4} - \frac{b}{3} = 6 \end{cases} $
Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $b$:
$(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}) + (\frac{a}{4} - \frac{b}{3}) = 6 + 6$
$\frac{a}{2} + \frac{a}{4} = 12$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{2a+a}{4} = 12$
$\frac{3a}{4} = 12$
$3a = 48$
$a = 16$
Подставим значение $a=16$ в первое уравнение системы с новыми переменными $\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = 6$:
$\frac{16}{2} + \frac{b}{3} = 6$
$8 + \frac{b}{3} = 6$
$\frac{b}{3} = 6 - 8$
$\frac{b}{3} = -2$
$b = -6$
Вернемся к исходным переменным. Мы получили систему:
$ \begin{cases} x+y = a = 16 \\ x-y = b = -6 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения:
$(x+y) + (x-y) = 16 + (-6)$
$2x = 10$
$x=5$
Подставим $x=5$ в уравнение $x+y=16$:
$5+y=16$
$y=11$
Ответ: (5; 11)

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x+y}{2} - \frac{2y}{3} = \frac{5}{2} \\ \frac{3x}{2} + 2y = 0 \end{cases} $
Упростим каждое уравнение, умножив их на соответствующие числа, чтобы избавиться от знаменателей. Первое уравнение умножим на 6, второе на 2.
$ \begin{cases} 6 \cdot (\frac{x+y}{2}) - 6 \cdot (\frac{2y}{3}) = 6 \cdot (\frac{5}{2}) \\ 2 \cdot (\frac{3x}{2}) + 2 \cdot (2y) = 2 \cdot 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3(x+y) - 2(2y) = 3 \cdot 5 \\ 3x + 4y = 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3x + 3y - 4y = 15 \\ 3x + 4y = 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3x - y = 15 \\ 3x + 4y = 0 \end{cases} $
Вычтем из второго уравнения первое:
$(3x + 4y) - (3x - y) = 0 - 15$
$5y = -15$
$y = -3$
Подставим значение $y = -3$ во второе упрощенное уравнение $3x + 4y = 0$:
$3x + 4(-3) = 0$
$3x - 12 = 0$
$3x = 12$
$x = 4$
Ответ: (4; -3)