Номер 704, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Способом алгебраического сложения решить систему уравнений

(704–711).

704. 1) $ \begin{cases} 2x + y = 11, \\ 3x - y = 9; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 5x - 2y = 6, \\ 7x + 2y = 6; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 4x + 7y = 40, \\ -4x + 9y = 24; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x + 3y = 17, \\ 2y - x = 13. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = 11, \\ 3x - y = 9; \end{cases} $

Метод алгебраического сложения заключается в сложении или вычитании уравнений системы для исключения одной из переменных. В данном случае коэффициенты при переменной $y$ равны $1$ и $-1$, они являются противоположными числами, поэтому мы можем сложить два уравнения, чтобы исключить $y$.

Сложим левые и правые части уравнений:

$(2x + y) + (3x - y) = 11 + 9$

$2x + 3x = 20$

$5x = 20$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{20}{5}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x = 4$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$2(4) + y = 11$

$8 + y = 11$

$y = 11 - 8$

$y = 3$

Проверим решение, подставив $x = 4$ и $y = 3$ во второе уравнение:

$3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$. Равенство верно.

Следовательно, решение системы — пара чисел $(4, 3)$.

Ответ: $(4, 3)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 2y = 6, \\ 7x + 2y = 6; \end{cases} $

Коэффициенты при переменной $y$ равны $-2$ и $2$. Так как они являются противоположными числами, сложим уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$.

Складываем левые и правые части уравнений:

$(5x - 2y) + (7x + 2y) = 6 + 6$

$5x + 7x = 12$

$12x = 12$

Решаем уравнение относительно $x$:

$x = \frac{12}{12}$

$x = 1$

Теперь подставим значение $x = 1$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:

$7(1) + 2y = 6$

$7 + 2y = 6$

$2y = 6 - 7$

$2y = -1$

$y = -\frac{1}{2}$

Проверим найденное решение $(1, -1/2)$, подставив его в первое уравнение:

$5(1) - 2(-\frac{1}{2}) = 5 + 1 = 6$. Равенство верно.

Следовательно, решение системы — пара чисел $(1, -1/2)$.

Ответ: $(1, -1/2)$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x + 7y = 40, \\ -4x + 9y = 24; \end{cases} $

Коэффициенты при переменной $x$ равны $4$ и $-4$. Они являются противоположными числами, поэтому сложим уравнения системы, чтобы исключить переменную $x$.

Складываем левые и правые части уравнений:

$(4x + 7y) + (-4x + 9y) = 40 + 24$

$7y + 9y = 64$

$16y = 64$

Решаем уравнение относительно $y$:

$y = \frac{64}{16}$

$y = 4$

Теперь подставим значение $y = 4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:

$4x + 7(4) = 40$

$4x + 28 = 40$

$4x = 40 - 28$

$4x = 12$

$x = \frac{12}{4}$

$x = 3$

Проверим найденное решение $(3, 4)$, подставив его во второе уравнение:

$-4(3) + 9(4) = -12 + 36 = 24$. Равенство верно.

Следовательно, решение системы — пара чисел $(3, 4)$.

Ответ: $(3, 4)$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + 3y = 17, \\ 2y - x = 13; \end{cases} $

Для удобства применения метода сложения, запишем второе уравнение в стандартном виде, поменяв местами слагаемые в левой части: $-x + 2y = 13$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} x + 3y = 17, \\ -x + 2y = 13; \end{cases} $

Коэффициенты при переменной $x$ равны $1$ и $-1$. Так как они являются противоположными числами, сложим уравнения системы.

Складываем левые и правые части уравнений:

$(x + 3y) + (-x + 2y) = 17 + 13$

$3y + 2y = 30$

$5y = 30$

Решаем уравнение относительно $y$:

$y = \frac{30}{5}$

$y = 6$

Теперь подставим значение $y = 6$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:

$x + 3(6) = 17$

$x + 18 = 17$

$x = 17 - 18$

$x = -1$

Проверим найденное решение $(-1, 6)$, подставив его во второе исходное уравнение:

$2(6) - (-1) = 12 + 1 = 13$. Равенство верно.

Следовательно, решение системы — пара чисел $(-1, 6)$.

Ответ: $(-1, 6)$.