Номер 707, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

707. 1) $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1, \\ \frac{x}{4} + \frac{2y}{3} = 8; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 2, \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x + \frac{x-y}{4} = 11, \\ 3y - \frac{x+y}{3} = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 5x - \frac{x-y}{5} = 11, \\ 2y - \frac{x+y}{3} = 11. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1, \\ \frac{x}{4} + \frac{2y}{3} = 8; \end{cases}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6. Второе уравнение умножим на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12.

Первое уравнение:

$6 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) = 6 \cdot 1$

$3x - 2y = 6$

Второе уравнение:

$12 \cdot (\frac{x}{4} + \frac{2y}{3}) = 12 \cdot 8$

$3x + 8y = 96$

Получаем новую систему уравнений:

$\begin{cases} 3x - 2y = 6, \\ 3x + 8y = 96; \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от переменной $x$:

$(3x + 8y) - (3x - 2y) = 96 - 6$

$3x + 8y - 3x + 2y = 90$

$10y = 90$

$y = 9$

Теперь подставим найденное значение $y=9$ в первое упрощенное уравнение $3x - 2y = 6$:

$3x - 2(9) = 6$

$3x - 18 = 6$

$3x = 24$

$x = 8$

Ответ: $x=8, y=9$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 2, \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 2; \end{cases}$

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 4. Второе уравнение умножим на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 3, то есть на 6.

Первое уравнение:

$4 \cdot (\frac{x}{4} + \frac{y}{4}) = 4 \cdot 2$

$x + y = 8$

Второе уравнение:

$6 \cdot (\frac{x}{6} + \frac{y}{3}) = 6 \cdot 2$

$x + 2y = 12$

Получаем новую систему:

$\begin{cases} x + y = 8, \\ x + 2y = 12; \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(x + 2y) - (x + y) = 12 - 8$

$y = 4$

Подставим значение $y=4$ в первое упрощенное уравнение $x+y=8$:

$x + 4 = 8$

$x = 4$

Ответ: $x=4, y=4$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x + \frac{x-y}{4} = 11, \\ 3y - \frac{x+y}{3} = 1; \end{cases}$

Упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей. Первое уравнение умножим на 4, второе — на 3.

Первое уравнение:

$4 \cdot (2x + \frac{x-y}{4}) = 4 \cdot 11$

$8x + (x-y) = 44$

$9x - y = 44$

Второе уравнение:

$3 \cdot (3y - \frac{x+y}{3}) = 3 \cdot 1$

$9y - (x+y) = 3$

$9y - x - y = 3$

$-x + 8y = 3$

Получаем систему:

$\begin{cases} 9x - y = 44, \\ -x + 8y = 3; \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 9x - 44$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-x + 8(9x - 44) = 3$

$-x + 72x - 352 = 3$

$71x = 355$

$x = \frac{355}{71}$

$x = 5$

Теперь найдем $y$, подставив $x=5$ в выражение $y = 9x - 44$:

$y = 9(5) - 44$

$y = 45 - 44$

$y = 1$

Ответ: $x=5, y=1$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x - \frac{x-y}{5} = 11, \\ 2y - \frac{x+y}{3} = 11; \end{cases}$

Избавимся от дробей, умножив первое уравнение на 5, а второе на 3.

Первое уравнение:

$5 \cdot (5x - \frac{x-y}{5}) = 5 \cdot 11$

$25x - (x-y) = 55$

$25x - x + y = 55$

$24x + y = 55$

Второе уравнение:

$3 \cdot (2y - \frac{x+y}{3}) = 3 \cdot 11$

$6y - (x+y) = 33$

$6y - x - y = 33$

$-x + 5y = 33$

Получаем систему:

$\begin{cases} 24x + y = 55, \\ -x + 5y = 33; \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 55 - 24x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-x + 5(55 - 24x) = 33$

$-x + 275 - 120x = 33$

$-121x = 33 - 275$

$-121x = -242$

$x = \frac{-242}{-121}$

$x = 2$

Теперь найдем $y$, подставив $x=2$ в выражение $y = 55 - 24x$:

$y = 55 - 24(2)$

$y = 55 - 48$

$y = 7$

Ответ: $x=2, y=7$.