Номер 709, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

709. 1) ${ \begin{cases} 5(x + 1) = 2y + 6, \\ 3(x - 1) = 3y - 6; \end{cases} }$

2) ${ \begin{cases} 1 - 3y = 2(x - 2), \\ 1 - 3x = 3y - 2; \end{cases} }$

3) ${ \begin{cases} 4(x - 2) - 3(y + 3) = 1, \\ 3(x + 2) - 2(x - y) = 5; \end{cases} }$

4) ${ \begin{cases} 7(2x + y) - 5(3x + y) = 6, \\ 3(x + 2y) - 2(x + 3y) = -6. \end{cases} }$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5(x + 1) = 2y + 6 \\ 3(x - 1) = 3y - 6 \end{cases} $

Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки.

Первое уравнение:

$5x + 5 = 2y + 6$

$5x - 2y = 6 - 5$

$5x - 2y = 1$

Второе уравнение:

$3x - 3 = 3y - 6$

$3x - 3y = -6 + 3$

$3x - 3y = -3$

Разделим обе части второго уравнения на 3 для упрощения:

$x - y = -1$

Теперь у нас есть упрощенная система:

$ \begin{cases} 5x - 2y = 1 \\ x - y = -1 \end{cases} $

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = y - 1$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$5(y - 1) - 2y = 1$

$5y - 5 - 2y = 1$

$3y = 1 + 5$

$3y = 6$

$y = 2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = y - 1$:

$x = 2 - 1$

$x = 1$

Ответ: $(1; 2)$

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 1 - 3y = 2(x - 2) \\ 1 - 3x = 3y - 2 \end{cases} $

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$1 - 3y = 2x - 4$

Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую:

$-2x - 3y = -4 - 1$

$-2x - 3y = -5$

Умножим обе части уравнения на -1:

$2x + 3y = 5$

Второе уравнение:

$1 - 3x = 3y - 2$

$-3x - 3y = -2 - 1$

$-3x - 3y = -3$

Разделим обе части уравнения на -3:

$x + y = 1$

Получили упрощенную систему:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x + y = 1 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$:

$y = 1 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x + 3(1 - x) = 5$

$2x + 3 - 3x = 5$

$-x = 5 - 3$

$-x = 2$

$x = -2$

Теперь найдем $y$, подставив найденное значение $x$:

$y = 1 - (-2)$

$y = 3$

Ответ: $(-2; 3)$

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4(x - 2) - 3(y + 3) = 1 \\ 3(x + 2) - 2(x - y) = 5 \end{cases} $

Упростим каждое уравнение, раскрыв скобки.

Первое уравнение:

$4x - 8 - 3y - 9 = 1$

$4x - 3y = 1 + 8 + 9$

$4x - 3y = 18$

Второе уравнение:

$3x + 6 - 2x + 2y = 5$

$x + 2y = 5 - 6$

$x + 2y = -1$

Получили упрощенную систему:

$ \begin{cases} 4x - 3y = 18 \\ x + 2y = -1 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$:

$x = -1 - 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$4(-1 - 2y) - 3y = 18$

$-4 - 8y - 3y = 18$

$-11y = 18 + 4$

$-11y = 22$

$y = -2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$:

$x = -1 - 2(-2)$

$x = -1 + 4$

$x = 3$

Ответ: $(3; -2)$

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 7(2x + y) - 5(3x + y) = 6 \\ 3(x + 2y) - 2(x + 3y) = -6 \end{cases} $

Упростим каждое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Первое уравнение:

$14x + 7y - 15x - 5y = 6$

$(14x - 15x) + (7y - 5y) = 6$

$-x + 2y = 6$

Второе уравнение:

$3x + 6y - 2x - 6y = -6$

$(3x - 2x) + (6y - 6y) = -6$

$x = -6$

Мы сразу получили значение $x$. Подставим его в упрощенное первое уравнение, чтобы найти $y$:

$-(-6) + 2y = 6$

$6 + 2y = 6$

$2y = 0$

$y = 0$

Ответ: $(-6; 0)$