Номер 4, страница 241 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 38. Графический способ решения систем уравнений. Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными - номер 4, страница 241.

Условие.

4. Даны две прямые на координатной плоскости, причём каждая из них является графиком некоторого уравнения. Описать связь взаимного расположения прямых и числа решений системы соответствующих уравнений.

Решение 1.

Решение 5.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными — это пара чисел $(x; y)$, которая является решением каждого из уравнений системы. Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая. Таким образом, геометрически решение системы уравнений — это координаты общей точки (или точек) графиков этих уравнений.

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями вида $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, где $k$ — угловой коэффициент (отвечает за наклон прямой), а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью OY. Существует три возможных случая взаимного расположения этих прямых на координатной плоскости, каждому из которых соответствует определенное число решений системы.

1. Прямые пересекаются
Две прямые на плоскости пересекаются в одной и только одной точке, если их угловые коэффициенты различны. Эта точка пересечения является общей для обеих прямых, и ее координаты $(x_0; y_0)$ удовлетворяют обоим уравнениям. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение.
Условие: $k_1 \neq k_2$.
Число решений системы: одно.

Ответ: если прямые пересекаются, то система соответствующих уравнений имеет одно решение.

2. Прямые параллельны и не совпадают
Две прямые на плоскости параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью OY различны. Параллельные прямые не имеют общих точек, то есть не существует такой пары чисел $(x; y)$, которая удовлетворяла бы обоим уравнениям одновременно.
Условие: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.
Число решений системы: ноль (решений нет).

Ответ: если прямые параллельны и не совпадают, то система соответствующих уравнений не имеет решений.

3. Прямые совпадают
Если уравнения описывают одну и ту же прямую, это означает, что их угловые коэффициенты равны, и точки пересечения с осью OY также совпадают. В этом случае любая точка, принадлежащая первой прямой, также принадлежит и второй. Так как прямая состоит из бесконечного множества точек, то и общих точек у них бесконечно много.
Условие: $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$.
Число решений системы: бесконечно много.

Ответ: если прямые совпадают, то система соответствующих уравнений имеет бесконечно много решений.