Номер 1, страница 241 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 38. Графический способ решения систем уравнений. Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными - номер 1, страница 241.

Условие.

1. Что является графиком уравнения $ax + by = c$, если хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю?

Решение 1.

Решение 5.

Уравнение $ax + by = c$ называется общим уравнением прямой на плоскости. Чтобы доказать, что его графиком действительно является прямая, рассмотрим все возможные случаи для коэффициентов $a$ и $b$, учитывая условие, что хотя бы один из них не равен нулю.

Случай 1: $a \ne 0$ и $b \ne 0$

В этом случае оба коэффициента при переменных отличны от нуля. Мы можем выразить переменную $y$ через $x$:

$by = -ax + c$

Поскольку $b \ne 0$, разделим обе части уравнения на $b$:

$y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$

Это уравнение вида $y = kx + m$, где $k = -\frac{a}{b}$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси Ox), а $m = \frac{c}{b}$ — ордината точки пересечения прямой с осью Oy. Данное уравнение является уравнением прямой с угловым коэффициентом. Такая прямая не параллельна осям координат.

Ответ: Графиком является наклонная прямая.

Случай 2: $a \ne 0$ и $b = 0$

Подставим $b=0$ в исходное уравнение:

$ax + 0 \cdot y = c$

$ax = c$

Так как по условию этого случая $a \ne 0$, мы можем разделить обе части на $a$:

$x = \frac{c}{a}$

Это уравнение задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсцисса (координата $x$) постоянна и равна $\frac{c}{a}$, в то время как ордината (координата $y$) может быть любой. Графиком такого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси Oy (или совпадающая с ней, если $c=0$).

Ответ: Графиком является вертикальная прямая.

Случай 3: $a = 0$ и $b \ne 0$

Подставим $a=0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x + by = c$

$by = c$

Так как по условию этого случая $b \ne 0$, мы можем разделить обе части на $b$:

$y = \frac{c}{b}$

Это уравнение задает множество всех точек, у которых ордината (координата $y$) постоянна и равна $\frac{c}{b}$, а абсцисса (координата $x$) может быть любой. Графиком такого уравнения является горизонтальная прямая, параллельная оси Ox (или совпадающая с ней, если $c=0$).

Ответ: Графиком является горизонтальная прямая.

Таким образом, во всех рассмотренных случаях, которые охватывают все возможности при условии, что хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю, графиком уравнения $ax + by = c$ является прямая.

Ответ: Графиком уравнения $ax + by = c$, если хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю, является прямая.