Номер 3, страница 241 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 38. Графический способ решения систем уравнений. Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными - номер 3, страница 241.

Условие.

3. Какие существуют случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости?

Решение 1.

Решение 5.

В евклидовой геометрии на плоскости существует три возможных случая взаимного расположения двух прямых. Эти случаи определяются количеством общих точек, которые имеют данные прямые.

1. Прямые пересекаются
Две прямые называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой пересечения. Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, то они пересекаются в том и только в том случае, если их угловые коэффициенты не равны: $k_1 \neq k_2$. Для прямых, заданных общими уравнениями $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$, условием пересечения является непропорциональность коэффициентов при переменных $x$ и $y$: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
Ответ: Прямые имеют одну общую точку.

2. Прямые параллельны
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Для прямых, заданных уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, условием параллельности является равенство их угловых коэффициентов при неравенстве свободных членов: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$. Для прямых, заданных общими уравнениями $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$, условие параллельности выражается как пропорциональность коэффициентов при переменных и их непропорциональность свободным членам: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.
Ответ: Прямые не имеют общих точек.

3. Прямые совпадают
Это случай, когда прямые имеют бесконечно много общих точек. Фактически, это одна и та же прямая, которая может быть задана разными, но пропорциональными уравнениями. Для прямых, заданных уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, условием совпадения является одновременное равенство и угловых коэффициентов, и свободных членов: $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$. Для прямых в общем виде $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ условием совпадения является пропорциональность всех трех пар коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
Ответ: Прямые имеют бесконечно много общих точек.