Номер 708, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

708. 1) $\begin{cases} x + 5y - 7 = 0, \\ x - 3y = -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 3y - 4 = 0, \\ 5x + 3y + 1 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 36x + 33y + 3 = 0, \\ 12x - 13y + 25 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 7x - 3y + 1 = 0, \\ 4x - 5y + 17 = 0. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x + 5y - 7 = 0, \\ x - 3y = -1; \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:
$x = 3y - 1$
Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:
$(3y - 1) + 5y - 7 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$8y - 8 = 0$
$8y = 8$
$y = 1$
Теперь, зная значение $y$, найдем $x$, подставив $y=1$ в выражение для $x$:
$x = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2$
Проверим полученное решение $(2, 1)$, подставив его в оба исходных уравнения:
1) $2 + 5(1) - 7 = 2 + 5 - 7 = 0$. Верно.
2) $2 - 3(1) = 2 - 3 = -1$. Верно.

Ответ: $(2, 1)$

2) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x - 3y - 4 = 0, \\ 5x + 3y + 1 = 0; \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-3$ и $3$). Сложим левые и правые части уравнений:
$(x - 3y - 4) + (5x + 3y + 1) = 0 + 0$
$x + 5x - 3y + 3y - 4 + 1 = 0$
$6x - 3 = 0$
$6x = 3$
$x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$\frac{1}{2} - 3y - 4 = 0$
$-3y = 4 - \frac{1}{2}$
$-3y = \frac{7}{2}$
$y = -\frac{7}{6}$

Ответ: $(\frac{1}{2}, -\frac{7}{6})$

3) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 36x + 33y + 3 = 0, \\ 12x - 13y + 25 = 0; \end{cases} $

Сначала упростим первое уравнение, разделив все его члены на 3:
$(36x + 33y + 3) \div 3 = 0 \div 3$
$12x + 11y + 1 = 0$
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} 12x + 11y + 1 = 0, \\ 12x - 13y + 25 = 0; \end{cases} $
Используем метод вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(12x + 11y + 1) - (12x - 13y + 25) = 0$
$12x - 12x + 11y - (-13y) + 1 - 25 = 0$
$24y - 24 = 0$
$24y = 24$
$y = 1$
Подставим $y=1$ в упрощенное первое уравнение:
$12x + 11(1) + 1 = 0$
$12x + 12 = 0$
$12x = -12$
$x = -1$

Ответ: $(-1, 1)$

4) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 7x - 3y + 1 = 0, \\ 4x - 5y + 17 = 0; \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Для этого умножим уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -3, чтобы избавиться от переменной $y$:
$5 \times (7x - 3y + 1 = 0) \implies 35x - 15y + 5 = 0$
$-3 \times (4x - 5y + 17 = 0) \implies -12x + 15y - 51 = 0$
Теперь сложим полученные уравнения:
$(35x - 15y + 5) + (-12x + 15y - 51) = 0$
$35x - 12x - 15y + 15y + 5 - 51 = 0$
$23x - 46 = 0$
$23x = 46$
$x = 2$
Подставим значение $x=2$ в первое исходное уравнение:
$7(2) - 3y + 1 = 0$
$14 - 3y + 1 = 0$
$15 - 3y = 0$
$3y = 15$
$y = 5$

Ответ: $(2, 5)$