Страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Способом алгебраического сложения решить систему уравнений

(704–711).

704. 1) $ \begin{cases} 2x + y = 11, \\ 3x - y = 9; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 5x - 2y = 6, \\ 7x + 2y = 6; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 4x + 7y = 40, \\ -4x + 9y = 24; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x + 3y = 17, \\ 2y - x = 13. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = 11, \\ 3x - y = 9; \end{cases} $

Метод алгебраического сложения заключается в сложении или вычитании уравнений системы для исключения одной из переменных. В данном случае коэффициенты при переменной $y$ равны $1$ и $-1$, они являются противоположными числами, поэтому мы можем сложить два уравнения, чтобы исключить $y$.

Сложим левые и правые части уравнений:

$(2x + y) + (3x - y) = 11 + 9$

$2x + 3x = 20$

$5x = 20$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{20}{5}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x = 4$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$2(4) + y = 11$

$8 + y = 11$

$y = 11 - 8$

$y = 3$

Проверим решение, подставив $x = 4$ и $y = 3$ во второе уравнение:

$3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$. Равенство верно.

Следовательно, решение системы — пара чисел $(4, 3)$.

Ответ: $(4, 3)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 2y = 6, \\ 7x + 2y = 6; \end{cases} $

Коэффициенты при переменной $y$ равны $-2$ и $2$. Так как они являются противоположными числами, сложим уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$.

Складываем левые и правые части уравнений:

$(5x - 2y) + (7x + 2y) = 6 + 6$

$5x + 7x = 12$

$12x = 12$

Решаем уравнение относительно $x$:

$x = \frac{12}{12}$

$x = 1$

Теперь подставим значение $x = 1$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:

$7(1) + 2y = 6$

$7 + 2y = 6$

$2y = 6 - 7$

$2y = -1$

$y = -\frac{1}{2}$

Проверим найденное решение $(1, -1/2)$, подставив его в первое уравнение:

$5(1) - 2(-\frac{1}{2}) = 5 + 1 = 6$. Равенство верно.

Следовательно, решение системы — пара чисел $(1, -1/2)$.

Ответ: $(1, -1/2)$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x + 7y = 40, \\ -4x + 9y = 24; \end{cases} $

Коэффициенты при переменной $x$ равны $4$ и $-4$. Они являются противоположными числами, поэтому сложим уравнения системы, чтобы исключить переменную $x$.

Складываем левые и правые части уравнений:

$(4x + 7y) + (-4x + 9y) = 40 + 24$

$7y + 9y = 64$

$16y = 64$

Решаем уравнение относительно $y$:

$y = \frac{64}{16}$

$y = 4$

Теперь подставим значение $y = 4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:

$4x + 7(4) = 40$

$4x + 28 = 40$

$4x = 40 - 28$

$4x = 12$

$x = \frac{12}{4}$

$x = 3$

Проверим найденное решение $(3, 4)$, подставив его во второе уравнение:

$-4(3) + 9(4) = -12 + 36 = 24$. Равенство верно.

Следовательно, решение системы — пара чисел $(3, 4)$.

Ответ: $(3, 4)$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + 3y = 17, \\ 2y - x = 13; \end{cases} $

Для удобства применения метода сложения, запишем второе уравнение в стандартном виде, поменяв местами слагаемые в левой части: $-x + 2y = 13$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} x + 3y = 17, \\ -x + 2y = 13; \end{cases} $

Коэффициенты при переменной $x$ равны $1$ и $-1$. Так как они являются противоположными числами, сложим уравнения системы.

Складываем левые и правые части уравнений:

$(x + 3y) + (-x + 2y) = 17 + 13$

$3y + 2y = 30$

$5y = 30$

Решаем уравнение относительно $y$:

$y = \frac{30}{5}$

$y = 6$

Теперь подставим значение $y = 6$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:

$x + 3(6) = 17$

$x + 18 = 17$

$x = 17 - 18$

$x = -1$

Проверим найденное решение $(-1, 6)$, подставив его во второе исходное уравнение:

$2(6) - (-1) = 12 + 1 = 13$. Равенство верно.

Следовательно, решение системы — пара чисел $(-1, 6)$.

Ответ: $(-1, 6)$.

705. 1) $ \begin{cases} 4x + 3y = -15, \\ 5x + 3y = -3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x - 5y = 1, \\ 4x - 5y = 7; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + 5y = 3, \\ x + 4y = 2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2y - 3x = 6, \\ y - 3x = 9. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 4x + 3y = -15 \\ 5x + 3y = -3 \end{cases} $
Для решения этой системы удобно применить метод алгебраического сложения (в данном случае вычитания), так как коэффициенты при переменной $y$ одинаковы. Вычтем из второго уравнения первое:
$(5x + 3y) - (4x + 3y) = -3 - (-15)$
$5x + 3y - 4x - 3y = -3 + 15$
$x = 12$
Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, например, в первое, чтобы найти значение $y$:
$4(12) + 3y = -15$
$48 + 3y = -15$
$3y = -15 - 48$
$3y = -63$
$y = -21$
Решение системы: пара чисел $(12; -21)$.
Ответ: $(12; -21)$

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 5y = 1 \\ 4x - 5y = 7 \end{cases} $
В этой системе коэффициенты при переменной $y$ также одинаковы. Вычтем из второго уравнения первое:
$(4x - 5y) - (2x - 5y) = 7 - 1$
$4x - 5y - 2x + 5y = 6$
$2x = 6$
$x = 3$
Подставим значение $x=3$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$2(3) - 5y = 1$
$6 - 5y = 1$
$-5y = 1 - 6$
$-5y = -5$
$y = 1$
Решение системы: пара чисел $(3; 1)$.
Ответ: $(3; 1)$

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + 5y = 3 \\ x + 4y = 2 \end{cases} $
Здесь одинаковые коэффициенты при переменной $x$. Вычтем из первого уравнения второе:
$(x + 5y) - (x + 4y) = 3 - 2$
$x + 5y - x - 4y = 1$
$y = 1$
Подставим $y=1$ в первое уравнение системы:
$x + 5(1) = 3$
$x + 5 = 3$
$x = 3 - 5$
$x = -2$
Решение системы: пара чисел $(-2; 1)$.
Ответ: $(-2; 1)$

4) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2y - 3x = 6 \\ y - 3x = 9 \end{cases} $
Для удобства можно поменять слагаемые в уравнениях местами, чтобы переменные стояли в одном порядке, хотя это и не обязательно:
$ \begin{cases} -3x + 2y = 6 \\ -3x + y = 9 \end{cases} $
Коэффициенты при $x$ одинаковы. Вычтем из первого уравнения второе:
$(-3x + 2y) - (-3x + y) = 6 - 9$
$-3x + 2y + 3x - y = -3$
$y = -3$
Подставим найденное значение $y$ во второе исходное уравнение:
$(-3) - 3x = 9$
$-3x = 9 + 3$
$-3x = 12$
$x = -4$
Решение системы: пара чисел $(-4; -3)$.
Ответ: $(-4; -3)$

706. 1) $\begin{cases} 4x + 3y = -4, \\ 6x + 5y = -7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x - 5y = -22, \\ 3x + 2y = 18; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 5x + 6y = 0, \\ 3x + 4y = 4. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 4x + 3y = -4 \\ 6x + 5y = -7 \end{cases}$
Для решения системы воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами:
$\begin{cases} 3 \cdot (4x + 3y) = 3 \cdot (-4) \\ -2 \cdot (6x + 5y) = -2 \cdot (-7) \end{cases}$
$\begin{cases} 12x + 9y = -12 \\ -12x - 10y = 14 \end{cases}$
Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(12x + 9y) + (-12x - 10y) = -12 + 14$
$9y - 10y = 2$
$-y = 2$
$y = -2$
Подставим найденное значение $y = -2$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:
$4x + 3(-2) = -4$
$4x - 6 = -4$
$4x = -4 + 6$
$4x = 2$
$x = \frac{2}{4} = 0,5$
Таким образом, решение системы: $x = 0,5$, $y = -2$.
Ответ: $(0,5; -2)$.

2) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 4x - 5y = -22 \\ 3x + 2y = 18 \end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -4, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$\begin{cases} 3 \cdot (4x - 5y) = 3 \cdot (-22) \\ -4 \cdot (3x + 2y) = -4 \cdot (18) \end{cases}$
$\begin{cases} 12x - 15y = -66 \\ -12x - 8y = -72 \end{cases}$
Сложим полученные уравнения:
$(12x - 15y) + (-12x - 8y) = -66 + (-72)$
$-15y - 8y = -138$
$-23y = -138$
$y = \frac{-138}{-23} = 6$
Подставим найденное значение $y = 6$ во второе уравнение исходной системы:
$3x + 2(6) = 18$
$3x + 12 = 18$
$3x = 18 - 12$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3} = 2$
Таким образом, решение системы: $x = 2$, $y = 6$.
Ответ: $(2; 6)$.

3) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 5x + 6y = 0 \\ 3x + 4y = 4 \end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$\begin{cases} 2 \cdot (5x + 6y) = 2 \cdot 0 \\ -3 \cdot (3x + 4y) = -3 \cdot 4 \end{cases}$
$\begin{cases} 10x + 12y = 0 \\ -9x - 12y = -12 \end{cases}$
Сложим уравнения:
$(10x + 12y) + (-9x - 12y) = 0 + (-12)$
$10x - 9x = -12$
$x = -12$
Подставим найденное значение $x = -12$ в первое уравнение исходной системы:
$5(-12) + 6y = 0$
$-60 + 6y = 0$
$6y = 60$
$y = \frac{60}{6} = 10$
Таким образом, решение системы: $x = -12$, $y = 10$.
Ответ: $(-12; 10)$.

707. 1) $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1, \\ \frac{x}{4} + \frac{2y}{3} = 8; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 2, \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x + \frac{x-y}{4} = 11, \\ 3y - \frac{x+y}{3} = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 5x - \frac{x-y}{5} = 11, \\ 2y - \frac{x+y}{3} = 11. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1, \\ \frac{x}{4} + \frac{2y}{3} = 8; \end{cases}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6. Второе уравнение умножим на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12.

Первое уравнение:

$6 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) = 6 \cdot 1$

$3x - 2y = 6$

Второе уравнение:

$12 \cdot (\frac{x}{4} + \frac{2y}{3}) = 12 \cdot 8$

$3x + 8y = 96$

Получаем новую систему уравнений:

$\begin{cases} 3x - 2y = 6, \\ 3x + 8y = 96; \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от переменной $x$:

$(3x + 8y) - (3x - 2y) = 96 - 6$

$3x + 8y - 3x + 2y = 90$

$10y = 90$

$y = 9$

Теперь подставим найденное значение $y=9$ в первое упрощенное уравнение $3x - 2y = 6$:

$3x - 2(9) = 6$

$3x - 18 = 6$

$3x = 24$

$x = 8$

Ответ: $x=8, y=9$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 2, \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 2; \end{cases}$

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 4. Второе уравнение умножим на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 3, то есть на 6.

Первое уравнение:

$4 \cdot (\frac{x}{4} + \frac{y}{4}) = 4 \cdot 2$

$x + y = 8$

Второе уравнение:

$6 \cdot (\frac{x}{6} + \frac{y}{3}) = 6 \cdot 2$

$x + 2y = 12$

Получаем новую систему:

$\begin{cases} x + y = 8, \\ x + 2y = 12; \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(x + 2y) - (x + y) = 12 - 8$

$y = 4$

Подставим значение $y=4$ в первое упрощенное уравнение $x+y=8$:

$x + 4 = 8$

$x = 4$

Ответ: $x=4, y=4$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x + \frac{x-y}{4} = 11, \\ 3y - \frac{x+y}{3} = 1; \end{cases}$

Упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей. Первое уравнение умножим на 4, второе — на 3.

Первое уравнение:

$4 \cdot (2x + \frac{x-y}{4}) = 4 \cdot 11$

$8x + (x-y) = 44$

$9x - y = 44$

Второе уравнение:

$3 \cdot (3y - \frac{x+y}{3}) = 3 \cdot 1$

$9y - (x+y) = 3$

$9y - x - y = 3$

$-x + 8y = 3$

Получаем систему:

$\begin{cases} 9x - y = 44, \\ -x + 8y = 3; \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 9x - 44$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-x + 8(9x - 44) = 3$

$-x + 72x - 352 = 3$

$71x = 355$

$x = \frac{355}{71}$

$x = 5$

Теперь найдем $y$, подставив $x=5$ в выражение $y = 9x - 44$:

$y = 9(5) - 44$

$y = 45 - 44$

$y = 1$

Ответ: $x=5, y=1$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x - \frac{x-y}{5} = 11, \\ 2y - \frac{x+y}{3} = 11; \end{cases}$

Избавимся от дробей, умножив первое уравнение на 5, а второе на 3.

Первое уравнение:

$5 \cdot (5x - \frac{x-y}{5}) = 5 \cdot 11$

$25x - (x-y) = 55$

$25x - x + y = 55$

$24x + y = 55$

Второе уравнение:

$3 \cdot (2y - \frac{x+y}{3}) = 3 \cdot 11$

$6y - (x+y) = 33$

$6y - x - y = 33$

$-x + 5y = 33$

Получаем систему:

$\begin{cases} 24x + y = 55, \\ -x + 5y = 33; \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 55 - 24x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-x + 5(55 - 24x) = 33$

$-x + 275 - 120x = 33$

$-121x = 33 - 275$

$-121x = -242$

$x = \frac{-242}{-121}$

$x = 2$

Теперь найдем $y$, подставив $x=2$ в выражение $y = 55 - 24x$:

$y = 55 - 24(2)$

$y = 55 - 48$

$y = 7$

Ответ: $x=2, y=7$.

708. 1) $\begin{cases} x + 5y - 7 = 0, \\ x - 3y = -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 3y - 4 = 0, \\ 5x + 3y + 1 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 36x + 33y + 3 = 0, \\ 12x - 13y + 25 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 7x - 3y + 1 = 0, \\ 4x - 5y + 17 = 0. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x + 5y - 7 = 0, \\ x - 3y = -1; \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:
$x = 3y - 1$
Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:
$(3y - 1) + 5y - 7 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$8y - 8 = 0$
$8y = 8$
$y = 1$
Теперь, зная значение $y$, найдем $x$, подставив $y=1$ в выражение для $x$:
$x = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2$
Проверим полученное решение $(2, 1)$, подставив его в оба исходных уравнения:
1) $2 + 5(1) - 7 = 2 + 5 - 7 = 0$. Верно.
2) $2 - 3(1) = 2 - 3 = -1$. Верно.

Ответ: $(2, 1)$

2) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x - 3y - 4 = 0, \\ 5x + 3y + 1 = 0; \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-3$ и $3$). Сложим левые и правые части уравнений:
$(x - 3y - 4) + (5x + 3y + 1) = 0 + 0$
$x + 5x - 3y + 3y - 4 + 1 = 0$
$6x - 3 = 0$
$6x = 3$
$x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$\frac{1}{2} - 3y - 4 = 0$
$-3y = 4 - \frac{1}{2}$
$-3y = \frac{7}{2}$
$y = -\frac{7}{6}$

Ответ: $(\frac{1}{2}, -\frac{7}{6})$

3) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 36x + 33y + 3 = 0, \\ 12x - 13y + 25 = 0; \end{cases} $

Сначала упростим первое уравнение, разделив все его члены на 3:
$(36x + 33y + 3) \div 3 = 0 \div 3$
$12x + 11y + 1 = 0$
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} 12x + 11y + 1 = 0, \\ 12x - 13y + 25 = 0; \end{cases} $
Используем метод вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(12x + 11y + 1) - (12x - 13y + 25) = 0$
$12x - 12x + 11y - (-13y) + 1 - 25 = 0$
$24y - 24 = 0$
$24y = 24$
$y = 1$
Подставим $y=1$ в упрощенное первое уравнение:
$12x + 11(1) + 1 = 0$
$12x + 12 = 0$
$12x = -12$
$x = -1$

Ответ: $(-1, 1)$

4) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 7x - 3y + 1 = 0, \\ 4x - 5y + 17 = 0; \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Для этого умножим уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -3, чтобы избавиться от переменной $y$:
$5 \times (7x - 3y + 1 = 0) \implies 35x - 15y + 5 = 0$
$-3 \times (4x - 5y + 17 = 0) \implies -12x + 15y - 51 = 0$
Теперь сложим полученные уравнения:
$(35x - 15y + 5) + (-12x + 15y - 51) = 0$
$35x - 12x - 15y + 15y + 5 - 51 = 0$
$23x - 46 = 0$
$23x = 46$
$x = 2$
Подставим значение $x=2$ в первое исходное уравнение:
$7(2) - 3y + 1 = 0$
$14 - 3y + 1 = 0$
$15 - 3y = 0$
$3y = 15$
$y = 5$

Ответ: $(2, 5)$

709. 1) ${ \begin{cases} 5(x + 1) = 2y + 6, \\ 3(x - 1) = 3y - 6; \end{cases} }$

2) ${ \begin{cases} 1 - 3y = 2(x - 2), \\ 1 - 3x = 3y - 2; \end{cases} }$

3) ${ \begin{cases} 4(x - 2) - 3(y + 3) = 1, \\ 3(x + 2) - 2(x - y) = 5; \end{cases} }$

4) ${ \begin{cases} 7(2x + y) - 5(3x + y) = 6, \\ 3(x + 2y) - 2(x + 3y) = -6. \end{cases} }$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5(x + 1) = 2y + 6 \\ 3(x - 1) = 3y - 6 \end{cases} $

Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки.

Первое уравнение:

$5x + 5 = 2y + 6$

$5x - 2y = 6 - 5$

$5x - 2y = 1$

Второе уравнение:

$3x - 3 = 3y - 6$

$3x - 3y = -6 + 3$

$3x - 3y = -3$

Разделим обе части второго уравнения на 3 для упрощения:

$x - y = -1$

Теперь у нас есть упрощенная система:

$ \begin{cases} 5x - 2y = 1 \\ x - y = -1 \end{cases} $

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = y - 1$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$5(y - 1) - 2y = 1$

$5y - 5 - 2y = 1$

$3y = 1 + 5$

$3y = 6$

$y = 2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = y - 1$:

$x = 2 - 1$

$x = 1$

Ответ: $(1; 2)$

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 1 - 3y = 2(x - 2) \\ 1 - 3x = 3y - 2 \end{cases} $

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$1 - 3y = 2x - 4$

Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую:

$-2x - 3y = -4 - 1$

$-2x - 3y = -5$

Умножим обе части уравнения на -1:

$2x + 3y = 5$

Второе уравнение:

$1 - 3x = 3y - 2$

$-3x - 3y = -2 - 1$

$-3x - 3y = -3$

Разделим обе части уравнения на -3:

$x + y = 1$

Получили упрощенную систему:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x + y = 1 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$:

$y = 1 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x + 3(1 - x) = 5$

$2x + 3 - 3x = 5$

$-x = 5 - 3$

$-x = 2$

$x = -2$

Теперь найдем $y$, подставив найденное значение $x$:

$y = 1 - (-2)$

$y = 3$

Ответ: $(-2; 3)$

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4(x - 2) - 3(y + 3) = 1 \\ 3(x + 2) - 2(x - y) = 5 \end{cases} $

Упростим каждое уравнение, раскрыв скобки.

Первое уравнение:

$4x - 8 - 3y - 9 = 1$

$4x - 3y = 1 + 8 + 9$

$4x - 3y = 18$

Второе уравнение:

$3x + 6 - 2x + 2y = 5$

$x + 2y = 5 - 6$

$x + 2y = -1$

Получили упрощенную систему:

$ \begin{cases} 4x - 3y = 18 \\ x + 2y = -1 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$:

$x = -1 - 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$4(-1 - 2y) - 3y = 18$

$-4 - 8y - 3y = 18$

$-11y = 18 + 4$

$-11y = 22$

$y = -2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$:

$x = -1 - 2(-2)$

$x = -1 + 4$

$x = 3$

Ответ: $(3; -2)$

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 7(2x + y) - 5(3x + y) = 6 \\ 3(x + 2y) - 2(x + 3y) = -6 \end{cases} $

Упростим каждое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Первое уравнение:

$14x + 7y - 15x - 5y = 6$

$(14x - 15x) + (7y - 5y) = 6$

$-x + 2y = 6$

Второе уравнение:

$3x + 6y - 2x - 6y = -6$

$(3x - 2x) + (6y - 6y) = -6$

$x = -6$

Мы сразу получили значение $x$. Подставим его в упрощенное первое уравнение, чтобы найти $y$:

$-(-6) + 2y = 6$

$6 + 2y = 6$

$2y = 0$

$y = 0$

Ответ: $(-6; 0)$

710. 1) $\begin{cases} \frac{x+3}{2} - \frac{y-2}{3} = 2, \\ \frac{x-1}{4} + \frac{y+1}{3} = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{3} = 6, \\ \frac{x+y}{4} - \frac{x-y}{3} = 6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{x+y}{2} - \frac{2y}{3} = \frac{5}{2}, \\ \frac{3x}{2} + 2y = 0. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x+3}{2} - \frac{y-2}{3} = 2 \\ \frac{x-1}{4} + \frac{y+1}{3} = 4 \end{cases} $
Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на наименьший общий знаменатель 6, а второе на 12.
$ \begin{cases} 6 \cdot (\frac{x+3}{2}) - 6 \cdot (\frac{y-2}{3}) = 6 \cdot 2 \\ 12 \cdot (\frac{x-1}{4}) + 12 \cdot (\frac{y+1}{3}) = 12 \cdot 4 \end{cases} $
Упростим каждое уравнение:
$ \begin{cases} 3(x+3) - 2(y-2) = 12 \\ 3(x-1) + 4(y+1) = 48 \end{cases} $
Раскроем скобки:
$ \begin{cases} 3x + 9 - 2y + 4 = 12 \\ 3x - 3 + 4y + 4 = 48 \end{cases} $
Приведем подобные слагаемые:
$ \begin{cases} 3x - 2y + 13 = 12 \\ 3x + 4y + 1 = 48 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 3x + 4y = 47 \end{cases} $
Теперь решим полученную систему. Вычтем из второго уравнения первое:
$(3x + 4y) - (3x - 2y) = 47 - (-1)$
$6y = 48$
$y = 8$
Подставим значение $y = 8$ в первое упрощенное уравнение $3x - 2y = -1$:
$3x - 2(8) = -1$
$3x - 16 = -1$
$3x = 15$
$x = 5$
Ответ: (5; 8)

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{3} = 6 \\ \frac{x+y}{4} - \frac{x-y}{3} = 6 \end{cases} $
Сделаем замену переменных. Пусть $a = x+y$ и $b = x-y$. Система примет вид:
$ \begin{cases} \frac{a}{2} + \frac{b}{3} = 6 \\ \frac{a}{4} - \frac{b}{3} = 6 \end{cases} $
Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $b$:
$(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}) + (\frac{a}{4} - \frac{b}{3}) = 6 + 6$
$\frac{a}{2} + \frac{a}{4} = 12$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{2a+a}{4} = 12$
$\frac{3a}{4} = 12$
$3a = 48$
$a = 16$
Подставим значение $a=16$ в первое уравнение системы с новыми переменными $\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = 6$:
$\frac{16}{2} + \frac{b}{3} = 6$
$8 + \frac{b}{3} = 6$
$\frac{b}{3} = 6 - 8$
$\frac{b}{3} = -2$
$b = -6$
Вернемся к исходным переменным. Мы получили систему:
$ \begin{cases} x+y = a = 16 \\ x-y = b = -6 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения:
$(x+y) + (x-y) = 16 + (-6)$
$2x = 10$
$x=5$
Подставим $x=5$ в уравнение $x+y=16$:
$5+y=16$
$y=11$
Ответ: (5; 11)

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x+y}{2} - \frac{2y}{3} = \frac{5}{2} \\ \frac{3x}{2} + 2y = 0 \end{cases} $
Упростим каждое уравнение, умножив их на соответствующие числа, чтобы избавиться от знаменателей. Первое уравнение умножим на 6, второе на 2.
$ \begin{cases} 6 \cdot (\frac{x+y}{2}) - 6 \cdot (\frac{2y}{3}) = 6 \cdot (\frac{5}{2}) \\ 2 \cdot (\frac{3x}{2}) + 2 \cdot (2y) = 2 \cdot 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3(x+y) - 2(2y) = 3 \cdot 5 \\ 3x + 4y = 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3x + 3y - 4y = 15 \\ 3x + 4y = 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3x - y = 15 \\ 3x + 4y = 0 \end{cases} $
Вычтем из второго уравнения первое:
$(3x + 4y) - (3x - y) = 0 - 15$
$5y = -15$
$y = -3$
Подставим значение $y = -3$ во второе упрощенное уравнение $3x + 4y = 0$:
$3x + 4(-3) = 0$
$3x - 12 = 0$
$3x = 12$
$x = 4$
Ответ: (4; -3)