Страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать алгоритм решения системы уравнений способом подстановки.

Метод подстановки — это способ решения систем уравнений, который заключается в следующем: из одного уравнения системы выражают одну переменную через другую, а затем подставляют полученное выражение в другое уравнение. Это действие позволяет свести систему из нескольких уравнений с несколькими переменными к одному уравнению с одной переменной.

Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки:

1. Из любого уравнения системы выразить одну переменную через другую. Рекомендуется выбирать то уравнение, где у одной из переменных коэффициент равен $1$ или $-1$, так как это позволяет избежать дробных выражений.

2. Подставить полученное на первом шаге выражение в другое уравнение системы вместо той переменной, которую выразили. В результате этого шага получится уравнение, содержащее только одну переменную.

3. Решить полученное на втором шаге уравнение с одной переменной и найти её значение.

4. Подставить найденное на третьем шаге значение переменной в выражение, полученное на первом шаге (в "подстановку"), и вычислить значение второй переменной.

5. Записать ответ в виде упорядоченной пары чисел $(x; y)$, которая является решением системы. Настоятельно рекомендуется выполнить проверку, подставив найденные значения в оба исходных уравнения системы, чтобы убедиться в правильности решения.

Пример применения алгоритма

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x - y = 5 \end{cases} $

Шаг 1. В первом уравнении коэффициент при $x$ равен $1$, а во втором коэффициент при $y$ равен $-1$. Удобно выразить любую из этих переменных. Выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 4 - 2y$

Шаг 2. Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$3(4 - 2y) - y = 5$

Шаг 3. Решим полученное уравнение относительно переменной $y$:

$12 - 6y - y = 5$

$12 - 7y = 5$

$-7y = 5 - 12$

$-7y = -7$

$y = 1$

Шаг 4. Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив $y=1$ в выражение, полученное на шаге 1:

$x = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2$

Шаг 5. Решением системы является пара чисел $(2; 1)$. Выполним проверку:

Первое уравнение: $2 + 2(1) = 2 + 2 = 4$. Верно ($4 = 4$).

Второе уравнение: $3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$. Верно ($5 = 5$).

Решение найдено верно.

Ответ:

Сформулированный алгоритм решения системы уравнений способом подстановки состоит из следующих шагов:

1. Из одного из уравнений системы выражают одну переменную через другую.

2. Полученное выражение подставляют в другое уравнение системы.

3. Решают получившееся уравнение с одной переменной, находя её значение.

4. Находят значение второй переменной, подставляя найденное значение в выражение из первого шага.

5. Записывают итоговое решение в виде пары чисел.

2. Из какого уравнения системы двух линейных уравнений предпочтительнее выражать одно неизвестное через другое, чтобы решить систему способом подстановки?

При решении системы двух линейных уравнений методом подстановки выбор уравнения, из которого следует выражать одну переменную через другую, определяется стремлением к упрощению вычислений. Самым простым и удобным является случай, когда получаемое выражение для переменной не содержит дробей.

Чтобы избежать появления дробей, необходимо выбирать то уравнение и ту переменную, у которой коэффициент равен 1 или -1. Если в системе есть такая переменная, то именно ее и следует выражать.

Рассмотрим общий вид системы двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

Предположим, что в первом уравнении коэффициент при $x$, то есть $a_1$, равен 1. Тогда уравнение примет вид $x + b_1y = c_1$. Из него очень легко выразить $x$:

$x = c_1 - b_1y$

Полученное выражение является целочисленным (если $b_1$ и $c_1$ — целые числа), и его легко подставить во второе уравнение. Если бы мы выражали $x$ при $a_1 \neq 1$ и $a_1 \neq -1$, мы бы получили дробь: $x = \frac{c_1 - b_1y}{a_1}$, что усложнило бы дальнейшие расчеты.

Аналогично, если коэффициент при переменной равен -1, например, $b_2 = -1$ во втором уравнении $a_2x - y = c_2$, то переменную $y$ также легко выразить:

$-y = c_2 - a_2x$
$y = a_2x - c_2$

Это выражение также не содержит дробей.

Пример:

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5x - y = 10 \\ 2x + 3y = 4 \end{cases} $$

В этой системе в первом уравнении переменная $y$ имеет коэффициент -1. Поэтому предпочтительнее всего выразить $y$ из первого уравнения:

$-y = 10 - 5x$
$y = 5x - 10$

Далее это выражение можно подставить во второе уравнение. Выражение любой другой переменной ($x$ из первого уравнения, $x$ или $y$ из второго) привело бы к появлению дробей.

Ответ: Чтобы решить систему способом подстановки, предпочтительнее выражать одну неизвестную через другую из того уравнения, где коэффициент при этой неизвестной равен 1 или -1. Это позволяет избежать дробных выражений и упрощает вычисления.

1. Какая из пар чисел $(-1; 3)$, $(-2; 3)$ является решением уравнения $6x + 5y = 3$?

Чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением уравнения $6x + 5y = 3$, необходимо поочередно подставить координаты ($x$; $y$) из каждой пары в данное уравнение. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то эта пара является решением.

(-1; 3)

Проверим первую пару чисел, где $x = -1$ и $y = 3$. Подставим эти значения в левую часть уравнения:

$6 \cdot (-1) + 5 \cdot 3 = -6 + 15 = 9$

Сравним полученный результат $9$ с правой частью уравнения, которая равна $3$.

$9 \neq 3$

Так как равенство не выполняется, пара (-1; 3) не является решением уравнения.

(-2; 3)

Проверим вторую пару чисел, где $x = -2$ и $y = 3$. Подставим эти значения в левую часть уравнения:

$6 \cdot (-2) + 5 \cdot 3 = -12 + 15 = 3$

Сравним полученный результат $3$ с правой частью уравнения.

$3 = 3$

Так как равенство выполняется, пара (-2; 3) является решением уравнения.

Ответ: решением уравнения является пара чисел (-2; 3).

2. Какая из пар чисел $(1; -5)$, $(-1; -2)$, $(-2; 3)$ является решением системы $ \begin{cases} 8x + 3y = -7, \\ 5x + y = -7? \end{cases} $

Чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением системы уравнений, нужно подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в оба уравнения системы. Если оба уравнения обращаются в верные равенства, то пара является решением.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 8x + 3y = -7 \\ 5x + y = -7 \end{cases} $

(1; -5)

Проверим пару чисел, где $x=1$ и $y=-5$.

Подставляем в первое уравнение: $8 \cdot 1 + 3 \cdot (-5) = 8 - 15 = -7$. Равенство $-7 = -7$ верно.

Подставляем во второе уравнение: $5 \cdot 1 + (-5) = 5 - 5 = 0$. Равенство $0 = -7$ неверно.

Так как второе уравнение не выполняется, пара $(1; -5)$ не является решением системы.

Ответ: не является решением.

(-1; -2)

Проверим пару чисел, где $x=-1$ и $y=-2$.

Подставляем в первое уравнение: $8 \cdot (-1) + 3 \cdot (-2) = -8 - 6 = -14$. Равенство $-14 = -7$ неверно.

Проверять второе уравнение нет необходимости, так как уже первое не выполняется. Пара $(-1; -2)$ не является решением системы.

Ответ: не является решением.

(-2; 3)

Проверим пару чисел, где $x=-2$ и $y=3$.

Подставляем в первое уравнение: $8 \cdot (-2) + 3 \cdot 3 = -16 + 9 = -7$. Равенство $-7 = -7$ верно.

Подставляем во второе уравнение: $5 \cdot (-2) + 3 = -10 + 3 = -7$. Равенство $-7 = -7$ верно.

Так как оба равенства верны, пара чисел $(-2; 3)$ является решением системы.

Ответ: является решением.

3. Записать все решения уравнения:

1) $-x+5y=3$;

2) $6x-y=2$.

1) $-x+5y=3$

Данное уравнение является линейным уравнением с двумя переменными. Такие уравнения имеют бесконечное множество решений, которые на графике образуют прямую. Чтобы описать все решения, необходимо выразить одну переменную через другую.

В этом уравнении удобнее выразить переменную $x$ через $y$.
Исходное уравнение: $-x+5y=3$.
Вычтем $5y$ из обеих частей уравнения, чтобы изолировать член с $x$:

$-x = 3 - 5y$

Теперь умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $x$:

$x = -(3 - 5y)$

$x = 5y - 3$

Это выражение показывает, что мы можем выбрать любое значение для $y$ (свободная переменная) и вычислить соответствующее значение $x$ (зависимая переменная). Каждая такая пара $(x, y)$ будет решением уравнения. Например, если $y=1$, то $x=5(1)-3=2$. Пара $(2, 1)$ является решением.

Таким образом, все множество решений можно записать в виде упорядоченной пары.

Ответ: все решения уравнения можно представить в виде пар $(5y-3, y)$, где $y$ — любое действительное число.

2) $6x-y=2$

Это также линейное уравнение с двумя переменными, которое имеет бесконечное множество решений. Чтобы описать все решения, выразим одну переменную через другую. В данном случае удобнее выразить $y$ через $x$.

Исходное уравнение: $6x-y=2$.
Вычтем $6x$ из обеих частей уравнения, чтобы изолировать член с $y$:

$-y = 2 - 6x$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $y$:

$y = -(2 - 6x)$

$y = 6x - 2$

Это выражение показывает, что мы можем выбрать любое значение для $x$ (свободная переменная) и вычислить соответствующее значение $y$ (зависимая переменная). Каждая такая пара $(x, y)$ будет решением. Например, если $x=1$, то $y=6(1)-2=4$. Пара $(1, 4)$ является решением.

Таким образом, все множество решений можно записать в виде упорядоченной пары.

Ответ: все решения уравнения можно представить в виде пар $(x, 6x-2)$, где $x$ — любое действительное число.