Страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать алгоритм решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения.

Способ алгебраического сложения (или метод сложения) — это метод решения систем линейных уравнений, который заключается в последовательном исключении переменных. Цель метода — получить уравнение с одной переменной путем сложения или вычитания уравнений системы, предварительно преобразовав их так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Рассмотрим алгоритм на примере системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

1. Подготовка к исключению переменной. Выбираем переменную, которую будем исключать (например, y). Умножаем обе части первого и/или второго уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при этой переменной стали противоположными. Например, можно умножить первое уравнение на $b_2$, а второе на $-b_1$. Система примет вид:

   $ \begin{cases} a_1b_2x + b_1b_2y = c_1b_2 \\ -a_2b_1x - b_1b_2y = -c_2b_1 \end{cases} $

2. Сложение уравнений. Складываем почленно левые и правые части полученных уравнений. В результате переменная, для которой мы уравнивали коэффициенты, сократится, и мы получим одно уравнение с одной переменной.

   $(a_1b_2x + b_1b_2y) + (-a_2b_1x - b_1b_2y) = c_1b_2 - c_2b_1$

   $(a_1b_2 - a_2b_1)x = c_1b_2 - c_2b_1$

3. Решение полученного уравнения. Решаем простое линейное уравнение, полученное на предыдущем шаге, и находим значение первой переменной.

   $x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1}$

4. Нахождение второй переменной. Подставляем найденное значение переменной в любое из исходных уравнений системы. Решаем полученное уравнение и находим значение второй переменной.

5. Проверка и запись ответа. Подставляем найденную пару значений $(x, y)$ во второе исходное уравнение. Если равенство верное, значит, система решена правильно. Записываем ответ.

Пример:

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 5y = 15 \\ 3x + 2y = 6 \end{cases} $

1. Исключим переменную x. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при x стали 6 и -6.

$ \begin{cases} (2x + 5y) \cdot 3 = 15 \cdot 3 \\ (3x + 2y) \cdot (-2) = 6 \cdot (-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 15y = 45 \\ -6x - 4y = -12 \end{cases} $

2. Сложим два новых уравнения:

$(6x + 15y) + (-6x - 4y) = 45 + (-12)$

$11y = 33$

3. Решим полученное уравнение:

$y = \frac{33}{11} \implies y = 3$

4. Подставим $y=3$ в первое исходное уравнение:

$2x + 5(3) = 15$

$2x + 15 = 15$

$2x = 0 \implies x = 0$

5. Проверим решение, подставив $x=0$ и $y=3$ во второе исходное уравнение:

$3(0) + 2(3) = 6$

$0 + 6 = 6$

$6 = 6$ (верно)

Решение системы: $(0, 3)$.

Ответ:

Алгоритм решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения:

1. Умножить, если это необходимо, одно или оба уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
2. Сложить почленно левые и правые части уравнений системы.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в одно из исходных уравнений и найти значение второй переменной.
5. Записать ответ в виде пары чисел.

2. Какие из данных систем:

1) $\begin{cases} 5x - 3y = 1, \\ 6x + 3y = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} -4x + 3y = 5, \\ x - 2y = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 45x - 30y = 29, \\ 29x - 30y = 15 \end{cases}$

удобно решать способом алгебраического сложения? Ответ обосновать.

Способ алгебраического сложения является наиболее удобным, когда в уравнениях системы коэффициенты при одной из переменных равны или являются противоположными числами. В первом случае одно уравнение вычитают из другого, а во втором — уравнения складывают. Это позволяет сразу исключить одну из переменных.

Рассмотрим каждую систему:

1) $ \begin{cases} 5x - 3y = 1, \\ 6x + 3y = 5 \end{cases} $
В данной системе коэффициенты при переменной $y$ ($-3$ и $3$) являются противоположными числами. Это идеальный случай для применения метода сложения. Если сложить два уравнения, слагаемые с $y$ взаимно уничтожатся:
$(5x - 3y) + (6x + 3y) = 1 + 5$
$11x = 6$
Переменная $y$ исключена сразу, без каких-либо дополнительных преобразований.
Ответ: данную систему удобно решать способом алгебраического сложения.

2) $ \begin{cases} -4x + 3y = 5, \\ x - 2y = 1 \end{cases} $
В этой системе ни у переменной $x$ (коэффициенты $-4$ и $1$), ни у переменной $y$ (коэффициенты $3$ и $-2$) нет равных или противоположных коэффициентов. Чтобы применить метод сложения, потребуется предварительно умножить одно или оба уравнения на множители. Например, можно умножить второе уравнение на $4$, чтобы коэффициенты при $x$ стали $-4$ и $4$. Этот дополнительный шаг делает метод алгебраического сложения менее удобным для данной системы.
Ответ: данную систему неудобно решать способом алгебраического сложения без предварительных преобразований.

3) $ \begin{cases} 45x - 30y = 29, \\ 29x - 30y = 15 \end{cases} $
В данной системе коэффициенты при переменной $y$ равны (оба $-30$). Это позволяет применить метод алгебраического сложения, а именно — вычитание. Если вычесть второе уравнение из первого, слагаемые с $y$ сократятся:
$(45x - 30y) - (29x - 30y) = 29 - 15$
$16x = 14$
Переменная $y$ исключается немедленно, что делает этот метод очень удобным.
Ответ: данную систему удобно решать способом алгебраического сложения.

1. Привести подобные члены:

1) $3y - 2x + 6y + 2x$;

2) $-5x + 4y + 5x - 6y$.

1) $3y - 2x + 6y + 2x$

Чтобы привести подобные члены, необходимо найти слагаемые с одинаковой буквенной частью и выполнить с их коэффициентами указанные действия. Подобными членами в данном выражении являются $3y$ и $6y$, а также $-2x$ и $2x$.

Сгруппируем подобные члены:

$(3y + 6y) + (-2x + 2x)$

Теперь выполним сложение в каждой группе. Сложим коэффициенты при $y$:

$3 + 6 = 9$

Следовательно, $3y + 6y = 9y$.

Сложим коэффициенты при $x$:

$-2 + 2 = 0$

Следовательно, $-2x + 2x = 0x = 0$.

Запишем итоговое выражение:

$9y + 0 = 9y$

Ответ: $9y$

2) $-5x + 4y + 5x - 6y$

Аналогично предыдущему пункту, найдем и сгруппируем подобные члены. Подобными членами здесь являются $-5x$ и $5x$, а также $4y$ и $-6y$.

Сгруппируем их:

$(-5x + 5x) + (4y - 6y)$

Выполним сложение в каждой группе. Сложим коэффициенты при $x$:

$-5 + 5 = 0$

Следовательно, $-5x + 5x = 0x = 0$.

Сложим коэффициенты при $y$:

$4 - 6 = -2$

Следовательно, $4y - 6y = -2y$.

Запишем итоговое выражение:

$0 - 2y = -2y$

Ответ: $-2y$

2. Решить уравнение:

1) $7x - 2 = 3x + 8;$

2) $4y + 6 = 9y - 4.$

1)

Дано линейное уравнение: $7x - 2 = 3x + 8$.

Для его решения необходимо сгруппировать слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой. Перенесём $3x$ из правой части в левую, а $-2$ из левой части в правую, меняя их знаки при переносе.

Вычтем $3x$ из обеих частей уравнения:

$7x - 3x - 2 = 8$

Упростим левую часть:

$4x - 2 = 8$

Прибавим $2$ к обеим частям уравнения:

$4x = 8 + 2$

Выполним сложение в правой части:

$4x = 10$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $4$:

$x = \frac{10}{4}$

Сократим дробь и представим результат в виде десятичной дроби:

$x = \frac{5}{2} = 2.5$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$7 \cdot (2.5) - 2 = 3 \cdot (2.5) + 8$

$17.5 - 2 = 7.5 + 8$

$15.5 = 15.5$

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $x = 2.5$.

2)

Дано линейное уравнение: $4y + 6 = 9y - 4$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в одной части уравнения, а числа — в другой. Удобнее перенести $4y$ вправо, а $-4$ влево, чтобы коэффициент при переменной был положительным.

Прибавим $4$ к обеим частям уравнения:

$4y + 6 + 4 = 9y$

$4y + 10 = 9y$

Вычтем $4y$ из обеих частей уравнения:

$10 = 9y - 4y$

Упростим правую часть:

$10 = 5y$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на $5$:

$y = \frac{10}{5}$

$y = 2$

Выполним проверку, подставив найденное значение $y$ в исходное уравнение:

$4 \cdot (2) + 6 = 9 \cdot (2) - 4$

$8 + 6 = 18 - 4$

$14 = 14$

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $y = 2$.

3. Привести к многочлену стандартного вида произведение:

1) $(x-6)(x+4);$

2) $(2x+1)(x-5);$

3) $(x-2)(3x-8).$

1) Чтобы привести произведение $(x - 6)(x + 4)$ к многочлену стандартного вида, необходимо раскрыть скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Этот процесс также известен как правило фонтанчика или метод FOIL (First, Outer, Inner, Last).

$(x - 6)(x + 4) = x \cdot x + x \cdot 4 - 6 \cdot x - 6 \cdot 4$

Выполним умножение в каждом члене:

$x^2 + 4x - 6x - 24$

Далее, приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x$ в первой степени):

$x^2 + (4 - 6)x - 24 = x^2 - 2x - 24$

Полученный многочлен $x^2 - 2x - 24$ представлен в стандартном виде, так как его члены записаны в порядке убывания степеней переменной $x$.

Ответ: $x^2 - 2x - 24$

2) Аналогично приведем к многочлену стандартного вида произведение $(2x + 1)(x - 5)$.

Раскроем скобки, умножая каждый член на каждый:

$(2x + 1)(x - 5) = 2x \cdot x + 2x \cdot (-5) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-5)$

Выполним умножение:

$2x^2 - 10x + x - 5$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + (-10x + x) - 5 = 2x^2 - 9x - 5$

Полученный многочлен $2x^2 - 9x - 5$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $2x^2 - 9x - 5$

3) Приведем к многочлену стандартного вида произведение $(x - 2)(3x - 8)$.

Раскроем скобки:

$(x - 2)(3x - 8) = x \cdot 3x + x \cdot (-8) - 2 \cdot 3x - 2 \cdot (-8)$

Выполним умножение:

$3x^2 - 8x - 6x + 16$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + (-8x - 6x) + 16 = 3x^2 - 14x + 16$

Полученный многочлен $3x^2 - 14x + 16$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $3x^2 - 14x + 16$