Номер 1, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными. Параграф 37. Способ сложения. Устные вопросы и задания - номер 1, страница 235.

Условие.

1. Сформулировать алгоритм решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения.

Решение 1.

Решение 5.

Способ алгебраического сложения (или метод сложения) — это метод решения систем линейных уравнений, который заключается в последовательном исключении переменных. Цель метода — получить уравнение с одной переменной путем сложения или вычитания уравнений системы, предварительно преобразовав их так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Рассмотрим алгоритм на примере системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

1. Подготовка к исключению переменной. Выбираем переменную, которую будем исключать (например, y). Умножаем обе части первого и/или второго уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при этой переменной стали противоположными. Например, можно умножить первое уравнение на $b_2$, а второе на $-b_1$. Система примет вид:

   $ \begin{cases} a_1b_2x + b_1b_2y = c_1b_2 \\ -a_2b_1x - b_1b_2y = -c_2b_1 \end{cases} $

2. Сложение уравнений. Складываем почленно левые и правые части полученных уравнений. В результате переменная, для которой мы уравнивали коэффициенты, сократится, и мы получим одно уравнение с одной переменной.

   $(a_1b_2x + b_1b_2y) + (-a_2b_1x - b_1b_2y) = c_1b_2 - c_2b_1$

   $(a_1b_2 - a_2b_1)x = c_1b_2 - c_2b_1$

3. Решение полученного уравнения. Решаем простое линейное уравнение, полученное на предыдущем шаге, и находим значение первой переменной.

   $x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1}$

4. Нахождение второй переменной. Подставляем найденное значение переменной в любое из исходных уравнений системы. Решаем полученное уравнение и находим значение второй переменной.

5. Проверка и запись ответа. Подставляем найденную пару значений $(x, y)$ во второе исходное уравнение. Если равенство верное, значит, система решена правильно. Записываем ответ.

Пример:

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 5y = 15 \\ 3x + 2y = 6 \end{cases} $

1. Исключим переменную x. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при x стали 6 и -6.

$ \begin{cases} (2x + 5y) \cdot 3 = 15 \cdot 3 \\ (3x + 2y) \cdot (-2) = 6 \cdot (-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 15y = 45 \\ -6x - 4y = -12 \end{cases} $

2. Сложим два новых уравнения:

$(6x + 15y) + (-6x - 4y) = 45 + (-12)$

$11y = 33$

3. Решим полученное уравнение:

$y = \frac{33}{11} \implies y = 3$

4. Подставим $y=3$ в первое исходное уравнение:

$2x + 5(3) = 15$

$2x + 15 = 15$

$2x = 0 \implies x = 0$

5. Проверим решение, подставив $x=0$ и $y=3$ во второе исходное уравнение:

$3(0) + 2(3) = 6$

$0 + 6 = 6$

$6 = 6$ (верно)

Решение системы: $(0, 3)$.

Ответ:

Алгоритм решения системы линейных уравнений способом алгебраического сложения:

1. Умножить, если это необходимо, одно или оба уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
2. Сложить почленно левые и правые части уравнений системы.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в одно из исходных уравнений и найти значение второй переменной.
5. Записать ответ в виде пары чисел.