Номер 700, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

700. 1) $\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 3, \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{8}{3} \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{5x}{2} + \frac{y}{5} = -4, \\ \frac{x}{3} - \frac{y}{6} = \frac{1}{6} \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{2x}{3} - \frac{5y}{4} = -3, \\ \frac{5x}{6} + \frac{7y}{8} = 6 \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 3 \\\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{8}{3}\end{cases}$

Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим оба уравнения на наименьшее общее кратное их знаменателей. Для обоих уравнений это число 6.

Умножаем первое уравнение на 6:

$6 \cdot (\frac{x}{2}) + 6 \cdot (\frac{y}{3}) = 6 \cdot 3$

$3x + 2y = 18$

Умножаем второе уравнение на 6:

$6 \cdot (\frac{x}{3}) + 6 \cdot (\frac{y}{2}) = 6 \cdot \frac{8}{3}$

$2x + 3y = 16$

Теперь мы имеем эквивалентную систему без дробей:

$\begin{cases}3x + 2y = 18 \\2x + 3y = 16\end{cases}$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами.

$3 \cdot (3x + 2y = 18) \implies 9x + 6y = 54$

$-2 \cdot (2x + 3y = 16) \implies -4x - 6y = -32$

Теперь сложим полученные уравнения почленно:

$(9x + 6y) + (-4x - 6y) = 54 + (-32)$

$5x = 22$

$x = \frac{22}{5}$

Подставим найденное значение x в одно из уравнений системы, например, в $2x + 3y = 16$:

$2 \cdot \frac{22}{5} + 3y = 16$

$\frac{44}{5} + 3y = 16$

$3y = 16 - \frac{44}{5}$

$3y = \frac{80}{5} - \frac{44}{5}$

$3y = \frac{36}{5}$

$y = \frac{36}{5} \div 3 = \frac{36}{5 \cdot 3} = \frac{12}{5}$

Ответ: $x = \frac{22}{5}$, $y = \frac{12}{5}$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}\frac{5x}{2} + \frac{y}{5} = -4 \\\frac{x}{3} - \frac{y}{6} = \frac{1}{6}\end{cases}$

Упростим систему, избавившись от дробей. Умножим первое уравнение на НОК(2, 5) = 10, а второе уравнение на НОК(3, 6) = 6.

Первое уравнение:

$10 \cdot (\frac{5x}{2}) + 10 \cdot (\frac{y}{5}) = 10 \cdot (-4)$

$25x + 2y = -40$

Второе уравнение:

$6 \cdot (\frac{x}{3}) - 6 \cdot (\frac{y}{6}) = 6 \cdot \frac{1}{6}$

$2x - y = 1$

Получаем систему:

$\begin{cases}25x + 2y = -40 \\2x - y = 1\end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим y:

$y = 2x - 1$

Подставим полученное выражение для y в первое уравнение:

$25x + 2(2x - 1) = -40$

$25x + 4x - 2 = -40$

$29x = -38$

$x = -\frac{38}{29}$

Теперь найдем y, подставив значение x в выражение $y = 2x - 1$:

$y = 2 \cdot (-\frac{38}{29}) - 1$

$y = -\frac{76}{29} - \frac{29}{29}$

$y = -\frac{105}{29}$

Ответ: $x = -\frac{38}{29}$, $y = -\frac{105}{29}$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases}\frac{2x}{3} - \frac{5y}{4} = -3 \\\frac{5x}{6} + \frac{7y}{8} = 6\end{cases}$

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на НОК(3, 4) = 12, а второе — на НОК(6, 8) = 24.

Первое уравнение:

$12 \cdot (\frac{2x}{3}) - 12 \cdot (\frac{5y}{4}) = 12 \cdot (-3)$

$4 \cdot 2x - 3 \cdot 5y = -36$

$8x - 15y = -36$

Второе уравнение:

$24 \cdot (\frac{5x}{6}) + 24 \cdot (\frac{7y}{8}) = 24 \cdot 6$

$4 \cdot 5x + 3 \cdot 7y = 144$

$20x + 21y = 144$

Получили систему:

$\begin{cases}8x - 15y = -36 \\20x + 21y = 144\end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы уравнять коэффициенты при x по модулю.

$5 \cdot (8x - 15y = -36) \implies 40x - 75y = -180$

$-2 \cdot (20x + 21y = 144) \implies -40x - 42y = -288$

Сложим полученные уравнения:

$(40x - 75y) + (-40x - 42y) = -180 - 288$

$-117y = -468$

$y = \frac{-468}{-117} = 4$

Подставим $y = 4$ в уравнение $8x - 15y = -36$:

$8x - 15 \cdot 4 = -36$

$8x - 60 = -36$

$8x = 60 - 36$

$8x = 24$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$, $y = 4$.