Номер 702, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

702. 1) $\begin{cases} \frac{x + y}{2} - \frac{x - y}{3} = 8, \\ \frac{x + y}{3} + \frac{x - y}{4} = 11; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x + y}{9} - \frac{x - y}{3} = 2, \\ \frac{2x - y}{6} - \frac{3x + 2y}{3} = -20; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{7x - 2y}{2} + 2x = 6, \\ \frac{5y - 8x}{3} - y = -2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{1}{2}(2x - y) - 1 = y - 2, \\ \frac{1}{4}(3x - 7) = \frac{1}{5}(2y - 3) + 1. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x+y}{2} - \frac{x-y}{3} = 8 \\ \frac{x+y}{3} + \frac{x-y}{4} = 11 \end{cases} $$

Для упрощения решения введем новые переменные. Пусть $a = x+y$ и $b = x-y$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} \frac{a}{2} - \frac{b}{3} = 8 \\ \frac{a}{3} + \frac{b}{4} = 11 \end{cases} $$

Приведем каждое уравнение к целочисленным коэффициентам. Умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3), а второе на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4):

$$ \begin{cases} 3a - 2b = 8 \cdot 6 \\ 4a + 3b = 11 \cdot 12 \end{cases} \implies \begin{cases} 3a - 2b = 48 \\ 4a + 3b = 132 \end{cases} $$

Решим полученную систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными:

$$ \begin{cases} 9a - 6b = 144 \\ 8a + 6b = 264 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$(9a - 6b) + (8a + 6b) = 144 + 264$

$17a = 408$

$a = \frac{408}{17} = 24$

Подставим значение $a=24$ в уравнение $3a - 2b = 48$:

$3(24) - 2b = 48$

$72 - 2b = 48$

$2b = 72 - 48$

$2b = 24$

$b = 12$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, зная, что $a = 24$ и $b = 12$:

$$ \begin{cases} x+y = 24 \\ x-y = 12 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 24 + 12$

$2x = 36$

$x = 18$

Подставим значение $x=18$ в уравнение $x+y=24$:

$18 + y = 24$

$y = 6$

Ответ: $(18; 6)$

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x+y}{9} - \frac{x-y}{3} = 2 \\ \frac{2x-y}{6} - \frac{3x+2y}{3} = -20 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей. Умножим первое уравнение на 9, а второе на 6.

Первое уравнение:

$(x+y) - 3(x-y) = 2 \cdot 9$

$x+y - 3x + 3y = 18$

$-2x + 4y = 18$

Разделим обе части на 2: $-x + 2y = 9$

Второе уравнение:

$(2x-y) - 2(3x+2y) = -20 \cdot 6$

$2x-y - 6x - 4y = -120$

$-4x - 5y = -120$

Умножим обе части на -1: $4x + 5y = 120$

Получаем упрощенную систему:

$$ \begin{cases} -x + 2y = 9 \\ 4x + 5y = 120 \end{cases} $$

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 2y - 9$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$4(2y - 9) + 5y = 120$

$8y - 36 + 5y = 120$

$13y = 156$

$y = \frac{156}{13} = 12$

Теперь найдем $x$:

$x = 2y - 9 = 2(12) - 9 = 24 - 9 = 15$

Ответ: $(15; 12)$

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{7x-2y}{2} + 2x = 6 \\ \frac{5y-8x}{3} - y = -2 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение, умножив первое на 2, а второе на 3.

Первое уравнение:

$(7x-2y) + 2 \cdot 2x = 6 \cdot 2$

$7x - 2y + 4x = 12$

$11x - 2y = 12$

Второе уравнение:

$(5y-8x) - 3y = -2 \cdot 3$

$5y - 8x - 3y = -6$

$-8x + 2y = -6$

Разделим обе части на 2: $-4x + y = -3$

Получаем упрощенную систему:

$$ \begin{cases} 11x - 2y = 12 \\ -4x + y = -3 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 4x - 3$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$11x - 2(4x - 3) = 12$

$11x - 8x + 6 = 12$

$3x = 6$

$x = 2$

Теперь найдем $y$:

$y = 4x - 3 = 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5$

Ответ: $(2; 5)$

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{2}(2x - y) - 1 = y - 2 \\ \frac{1}{4}(3x - 7) = \frac{1}{5}(2y - 3) + 1 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение. Умножим на 2:

$(2x - y) - 2 = 2(y - 2)$

$2x - y - 2 = 2y - 4$

$2x - 3y = -2$

Второе уравнение. Умножим на 20 (наименьшее общее кратное для 4 и 5):

$5(3x - 7) = 4(2y - 3) + 20$

$15x - 35 = 8y - 12 + 20$

$15x - 8y = 43$

Получаем упрощенную систему:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = -2 \\ 15x - 8y = 43 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 8, а второе на -3:

$$ \begin{cases} 16x - 24y = -16 \\ -45x + 24y = -129 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$(16x - 24y) + (-45x + 24y) = -16 - 129$

$-29x = -145$

$x = \frac{-145}{-29} = 5$

Подставим $x = 5$ в уравнение $2x - 3y = -2$:

$2(5) - 3y = -2$

$10 - 3y = -2$

$12 = 3y$

$y = 4$

Ответ: $(5; 4)$