Номер 2, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными. Параграф 36. Способ подстановки. Устные вопросы и задания - номер 2, страница 230.

Условие.

2. Из какого уравнения системы двух линейных уравнений предпочтительнее выражать одно неизвестное через другое, чтобы решить систему способом подстановки?

Решение 1.

Решение 5.

При решении системы двух линейных уравнений методом подстановки выбор уравнения, из которого следует выражать одну переменную через другую, определяется стремлением к упрощению вычислений. Самым простым и удобным является случай, когда получаемое выражение для переменной не содержит дробей.

Чтобы избежать появления дробей, необходимо выбирать то уравнение и ту переменную, у которой коэффициент равен 1 или -1. Если в системе есть такая переменная, то именно ее и следует выражать.

Рассмотрим общий вид системы двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

Предположим, что в первом уравнении коэффициент при $x$, то есть $a_1$, равен 1. Тогда уравнение примет вид $x + b_1y = c_1$. Из него очень легко выразить $x$:

$x = c_1 - b_1y$

Полученное выражение является целочисленным (если $b_1$ и $c_1$ — целые числа), и его легко подставить во второе уравнение. Если бы мы выражали $x$ при $a_1 \neq 1$ и $a_1 \neq -1$, мы бы получили дробь: $x = \frac{c_1 - b_1y}{a_1}$, что усложнило бы дальнейшие расчеты.

Аналогично, если коэффициент при переменной равен -1, например, $b_2 = -1$ во втором уравнении $a_2x - y = c_2$, то переменную $y$ также легко выразить:

$-y = c_2 - a_2x$
$y = a_2x - c_2$

Это выражение также не содержит дробей.

Пример:

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5x - y = 10 \\ 2x + 3y = 4 \end{cases} $$

В этой системе в первом уравнении переменная $y$ имеет коэффициент -1. Поэтому предпочтительнее всего выразить $y$ из первого уравнения:

$-y = 10 - 5x$
$y = 5x - 10$

Далее это выражение можно подставить во второе уравнение. Выражение любой другой переменной ($x$ из первого уравнения, $x$ или $y$ из второго) привело бы к появлению дробей.

Ответ: Чтобы решить систему способом подстановки, предпочтительнее выражать одну неизвестную через другую из того уравнения, где коэффициент при этой неизвестной равен 1 или -1. Это позволяет избежать дробных выражений и упрощает вычисления.