Номер 692, страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

692. Найти все пары $(x; y)$ натуральных чисел, которые являются решениями уравнения:

1) $15y - 8x = 76;$

2) $9y - 2x = 20;$

3) $5y - 3x = 26;$

4) $4y - 3x = 20.$

Дано уравнение $15y - 8x = 76$. Требуется найти все пары натуральных чисел $(x; y)$, которые ему удовлетворяют. Натуральные числа — это $1, 2, 3, \dots$, поэтому $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Это линейное диофантово уравнение. Выразим одну переменную через другую, например, $y$: $15y = 76 + 8x$ $y = \frac{76 + 8x}{15}$

Поскольку $y$ должен быть целым числом, выражение $76 + 8x$ должно быть кратно 15. Это можно записать в виде сравнения по модулю 15: $76 + 8x \equiv 0 \pmod{15}$ Так как $76 = 5 \cdot 15 + 1$, то $76 \equiv 1 \pmod{15}$. Сравнение принимает вид: $1 + 8x \equiv 0 \pmod{15}$ $8x \equiv -1 \pmod{15}$ $8x \equiv 14 \pmod{15}$ Для нахождения $x$ необходимо найти обратный элемент к 8 по модулю 15. Заметим, что $8 \cdot 2 = 16 \equiv 1 \pmod{15}$. Следовательно, обратный элемент равен 2. Умножим обе части сравнения на 2: $2 \cdot 8x \equiv 2 \cdot 14 \pmod{15}$ $16x \equiv 28 \pmod{15}$ Так как $16 \equiv 1 \pmod{15}$ и $28 \equiv 13 \pmod{15}$, получаем: $x \equiv 13 \pmod{15}$

Это означает, что $x$ можно представить в виде $x = 15n + 13$, где $n$ — целое число. По условию $x$ — натуральное число, поэтому $x \ge 1$: $15n + 13 \ge 1 \implies 15n \ge -12 \implies n \ge -0.8$. Так как $n$ — целое число, то $n \ge 0$. Таким образом, $n$ — любое целое неотрицательное число.

Теперь найдем $y$, подставив полученное выражение для $x$: $y = \frac{76 + 8(15n + 13)}{15} = \frac{76 + 120n + 104}{15} = \frac{180 + 120n}{15} = 12 + 8n$. Условие $y \ge 1$ также выполняется, поскольку при $n \ge 0$, $y = 12 + 8n \ge 12$.

Ответ: $(13 + 15n, 12 + 8n)$, где $n$ — любое целое неотрицательное число ($n \in \{0, 1, 2, \dots\}$).

Дано уравнение $9y - 2x = 20$. Ищем решения в натуральных числах $(x \ge 1, y \ge 1)$.

Выразим $2x$: $2x = 9y - 20$. Отсюда видно, что правая часть $9y-20$ должна быть четным числом. Так как 20 — четное, то и $9y$ должно быть четным. Поскольку 9 — нечетное, это возможно только если $y$ — четное число. Представим $y$ в виде $y=2k$, где $k$ — натуральное число ($y \ge 1 \implies 2k \ge 1 \implies k \ge 1/2$, т.е. $k \ge 1$).

Подставим $y = 2k$ в исходное уравнение: $9(2k) - 2x = 20$ $18k - 2x = 20$ Разделим обе части на 2: $9k - x = 10$ $x = 9k - 10$

Так как $x$ — натуральное число, $x \ge 1$: $9k - 10 \ge 1 \implies 9k \ge 11 \implies k \ge \frac{11}{9} \approx 1.22$. Поскольку $k$ — целое число, то $k \ge 2$.

Итак, решения имеют вид $(9k - 10, 2k)$ для любого целого $k \ge 2$. Чтобы привести к более стандартному виду с параметром $n \ge 0$, сделаем замену $k = n + 2$. Тогда $n = k - 2$, и условие $k \ge 2$ превращается в $n \ge 0$. $x = 9(n+2) - 10 = 9n + 18 - 10 = 9n + 8$. $y = 2(n+2) = 2n + 4$.

Ответ: $(8 + 9n, 4 + 2n)$, где $n$ — любое целое неотрицательное число ($n \in \{0, 1, 2, \dots\}$).

Дано уравнение $5y - 3x = 26$. Ищем решения в натуральных числах $(x \ge 1, y \ge 1)$.

Выразим $y$ через $x$: $5y = 26 + 3x$ $y = \frac{26 + 3x}{5}$

Числитель $26 + 3x$ должен делиться на 5. Запишем это как сравнение по модулю 5: $26 + 3x \equiv 0 \pmod{5}$ $26 \equiv 1 \pmod{5}$, поэтому: $1 + 3x \equiv 0 \pmod{5}$ $3x \equiv -1 \pmod{5}$ $3x \equiv 4 \pmod{5}$ Обратным элементом к 3 по модулю 5 является 2, так как $3 \cdot 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$. Умножим обе части на 2: $2 \cdot 3x \equiv 2 \cdot 4 \pmod{5}$ $6x \equiv 8 \pmod{5}$ $x \equiv 3 \pmod{5}$

Следовательно, $x$ можно представить в виде $x = 5n + 3$ для некоторого целого $n$. Так как $x \ge 1$: $5n + 3 \ge 1 \implies 5n \ge -2 \implies n \ge -0.4$. Поскольку $n$ целое, $n \ge 0$.

Найдем $y$: $y = \frac{26 + 3(5n + 3)}{5} = \frac{26 + 15n + 9}{5} = \frac{35 + 15n}{5} = 7 + 3n$. При $n \ge 0$, $y = 7 + 3n \ge 7$, что удовлетворяет условию $y \ge 1$.

Ответ: $(3 + 5n, 7 + 3n)$, где $n$ — любое целое неотрицательное число ($n \in \{0, 1, 2, \dots\}$).

Дано уравнение $4y - 3x = 20$. Ищем решения в натуральных числах $(x \ge 1, y \ge 1)$.

Выразим $4y$: $4y = 20 + 3x$. Правая часть $20 + 3x$ должна быть кратна 4. Запишем сравнение по модулю 4: $20 + 3x \equiv 0 \pmod{4}$ Поскольку $20 \equiv 0 \pmod{4}$, получаем: $3x \equiv 0 \pmod{4}$ Так как НОД(3, 4) = 1, мы можем разделить на 3, получив: $x \equiv 0 \pmod{4}$

Это означает, что $x$ является кратным 4, то есть $x = 4k$ для некоторого целого $k$. По условию $x \ge 1$: $4k \ge 1 \implies k \ge 1/4$. Так как $k$ — целое, $k \ge 1$. То есть $k$ — любое натуральное число.

Подставим $x = 4k$ в исходное уравнение, чтобы найти $y$: $4y = 20 + 3(4k)$ $4y = 20 + 12k$ $y = 5 + 3k$ При $k \ge 1$, $y = 5 + 3k \ge 8$, что удовлетворяет условию $y \ge 1$.

Решения имеют вид $(4k, 5+3k)$ для любого натурального $k \ge 1$. Для единообразия с предыдущими пунктами, сделаем замену $k = n + 1$, где $n \ge 0$: $x = 4(n+1) = 4n + 4$. $y = 5 + 3(n+1) = 5 + 3n + 3 = 3n + 8$.

Ответ: $(4 + 4n, 8 + 3n)$, где $n$ — любое целое неотрицательное число ($n \in \{0, 1, 2, \dots\}$).