Номер 687, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

687. Записать все решения уравнения:

1) $3x + 4y = 8;$

2) $-x + 3y = 2;$

3) $1.5x - 0.5y = 3.5;$

4) $2x - 3y = \frac{2}{3}.$

1) $3x + 4y = 8$

Это линейное уравнение с двумя переменными. У него бесконечно много решений. Чтобы найти все решения, нужно выразить одну переменную через другую. Выразим y через x.

Сначала изолируем слагаемое с y, перенеся $3x$ в правую часть уравнения:

$4y = 8 - 3x$

Затем разделим обе части уравнения на коэффициент при y, то есть на 4:

$y = \frac{8 - 3x}{4}$

Упростим выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$y = \frac{8}{4} - \frac{3x}{4} = 2 - \frac{3}{4}x$

Таким образом, решением является любая пара чисел $(x, y)$, где x — любое действительное число, а соответствующее значение y находится по формуле $y = 2 - \frac{3}{4}x$.

Ответ: все решения уравнения можно записать в виде пар $(x, 2 - \frac{3}{4}x)$, где $x$ — любое действительное число.

2) $-x + 3y = 2$

Это линейное уравнение с двумя переменными. Чтобы найти все решения, выразим одну переменную через другую. В данном случае удобнее выразить x через y, так как коэффициент при x равен -1, что позволяет получить выражение без дробей.

Изолируем слагаемое с x:

$-x = 2 - 3y$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы найти x:

$x = -(2 - 3y)$

$x = 3y - 2$

Таким образом, решением является любая пара чисел $(x, y)$, где y — любое действительное число, а соответствующее значение x находится по формуле $x = 3y - 2$.

Ответ: все решения уравнения можно записать в виде пар $(3y - 2, y)$, где $y$ — любое действительное число.

3) $1,5x - 0,5y = 3,5$

Это линейное уравнение с двумя переменными. Для удобства вычислений сначала избавимся от десятичных дробей. Умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot (1,5x - 0,5y) = 2 \cdot 3,5$

$3x - y = 7$

Теперь выразим переменную y через x. Изолируем слагаемое с y:

$-y = 7 - 3x$

Умножим обе части на -1:

$y = -(7 - 3x)$

$y = 3x - 7$

Таким образом, решением является любая пара чисел $(x, y)$, где x — любое действительное число, а соответствующее значение y находится по формуле $y = 3x - 7$.

Ответ: все решения уравнения можно записать в виде пар $(x, 3x - 7)$, где $x$ — любое действительное число.

4) $2x - 3y = \frac{2}{3}$

Это линейное уравнение с двумя переменными. Чтобы избавиться от дроби в правой части, умножим обе части уравнения на знаменатель дроби, то есть на 3:

$3 \cdot (2x - 3y) = 3 \cdot \frac{2}{3}$

$6x - 9y = 2$

Теперь выразим переменную y через x. Изолируем слагаемое с y:

$-9y = 2 - 6x$

Разделим обе части на -9:

$y = \frac{2 - 6x}{-9}$

Чтобы упростить выражение, вынесем -1 в числителе за скобки и сократим знаки:

$y = \frac{-(6x - 2)}{-9} = \frac{6x - 2}{9}$

Это выражение можно также представить в виде $y = \frac{6}{9}x - \frac{2}{9}$, что упрощается до $y = \frac{2}{3}x - \frac{2}{9}$.

Таким образом, решением является любая пара чисел $(x, y)$, где x — любое действительное число, а соответствующее значение y находится по формуле $y = \frac{6x - 2}{9}$.

Ответ: все решения уравнения можно записать в виде пар $(x, \frac{6x-2}{9})$, где $x$ — любое действительное число.