Номер 688, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

688. Найти все пары (x; y) натуральных чисел, которые являются решениями уравнения:

1) $5x + 6y = 28;$

2) $13x + 4y = 55;$

3) $3x + 2y = 13;$

4) $5x + 7y = 59.$

1) $5x + 6y = 28$

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, они должны быть положительными целыми числами ($x \ge 1$, $y \ge 1$). Выразим одну переменную через другую, например, $x$ через $y$:

$5x = 28 - 6y$

$x = \frac{28 - 6y}{5}$

Так как $x \ge 1$, то должно выполняться неравенство $\frac{28 - 6y}{5} \ge 1$, что равносильно $28 - 6y \ge 5$. Отсюда получаем $6y \le 23$, или $y \le \frac{23}{6} \approx 3.83$.

Поскольку $y$ — натуральное число, его возможные значения: $1, 2, 3$. Подставим их в выражение для $x$ и проверим, будет ли $x$ натуральным числом.

— При $y=1$: $x = \frac{28 - 6(1)}{5} = \frac{22}{5}$. Не является натуральным числом.

— При $y=2$: $x = \frac{28 - 6(2)}{5} = \frac{28 - 12}{5} = \frac{16}{5}$. Не является натуральным числом.

— При $y=3$: $x = \frac{28 - 6(3)}{5} = \frac{28 - 18}{5} = \frac{10}{5} = 2$. Является натуральным числом.

Таким образом, единственная пара натуральных чисел, которая является решением, — это $(2; 3)$.

Проверка: $5(2) + 6(3) = 10 + 18 = 28$.

Ответ: $(2; 3)$.

2) $13x + 4y = 55$

Для натуральных $x, y$ ($x \ge 1$, $y \ge 1$) выразим $y$ через $x$:

$4y = 55 - 13x$

$y = \frac{55 - 13x}{4}$

Из условия $y \ge 1$ следует $55 - 13x \ge 4$, что дает $13x \le 51$, или $x \le \frac{51}{13} \approx 3.92$.

Возможные натуральные значения для $x$: $1, 2, 3$. Проверим каждое из них.

— При $x=1$: $y = \frac{55 - 13(1)}{4} = \frac{42}{4} = 10.5$. Не натуральное.

— При $x=2$: $y = \frac{55 - 13(2)}{4} = \frac{55 - 26}{4} = \frac{29}{4} = 7.25$. Не натуральное.

— При $x=3$: $y = \frac{55 - 13(3)}{4} = \frac{55 - 39}{4} = \frac{16}{4} = 4$. Натуральное.

Решением является пара $(3; 4)$.

Проверка: $13(3) + 4(4) = 39 + 16 = 55$.

Ответ: $(3; 4)$.

3) $3x + 2y = 13$

Для натуральных $x, y$ ($x \ge 1$, $y \ge 1$) выразим $y$ через $x$:

$2y = 13 - 3x$

$y = \frac{13 - 3x}{2}$

Из условия $y \ge 1$ следует $13 - 3x \ge 2$, откуда $3x \le 11$, или $x \le \frac{11}{3} \approx 3.66$.

Возможные натуральные значения для $x$: $1, 2, 3$. Чтобы $y$ было целым числом, $13 - 3x$ должно быть четным. Так как 13 — нечетное число, то и $3x$ должно быть нечетным, а это возможно только если $x$ — нечетное число. Из возможных значений для $x$ нечетными являются $1$ и $3$.

— При $x=1$: $y = \frac{13 - 3(1)}{2} = \frac{10}{2} = 5$. Натуральное. Получаем пару $(1; 5)$.

— При $x=3$: $y = \frac{13 - 3(3)}{2} = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Натуральное. Получаем пару $(3; 2)$.

Таким образом, есть две пары решений.

Проверка: $3(1) + 2(5) = 3 + 10 = 13$; $3(3) + 2(2) = 9 + 4 = 13$.

Ответ: $(1; 5), (3; 2)$.

4) $5x + 7y = 59$

Для натуральных $x, y$ ($x \ge 1$, $y \ge 1$) выразим $x$ через $y$:

$5x = 59 - 7y$

$x = \frac{59 - 7y}{5}$

Из условия $x \ge 1$ следует $59 - 7y \ge 5$, откуда $7y \le 54$, или $y \le \frac{54}{7} \approx 7.71$.

Возможные натуральные значения для $y$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. Чтобы $x$ было целым, выражение $59 - 7y$ должно делиться на 5, то есть оканчиваться на 0 или 5. Так как 59 оканчивается на 9, то $7y$ должно оканчиваться на 4 (чтобы разность $59 - 7y$ оканчивалась на 5) или на 9 (чтобы разность оканчивалась на 0).

Проверим, при каких $y$ из диапазона $[1, 7]$ это выполняется:

— При $y=2$: $7y = 14$. Оканчивается на 4. Тогда $x = \frac{59 - 14}{5} = \frac{45}{5} = 9$. Натуральное. Пара $(9; 2)$.

— При $y=7$: $7y = 49$. Оканчивается на 9. Тогда $x = \frac{59 - 49}{5} = \frac{10}{5} = 2$. Натуральное. Пара $(2; 7)$.

Другие значения $y$ из списка не дают $7y$, оканчивающегося на 4 или 9. Следовательно, мы нашли все решения.

Проверка: $5(9) + 7(2) = 45 + 14 = 59$; $5(2) + 7(7) = 10 + 49 = 59$.

Ответ: $(9; 2), (2; 7)$.