Номер 695, страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 35. Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений. Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными - номер 695, страница 227.

Условие.

695. Можно ли загрузить автомашину контейнерами грузоподъёмностью 0,8 т и 0,9 т так, чтобы полностью использовать грузоподъёмность автомашины, равную 10 т?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть $x$ — это количество контейнеров грузоподъёмностью 0,8 т, а $y$ — количество контейнеров грузоподъёмностью 0,9 т. Задача состоит в том, чтобы выяснить, существуют ли целые неотрицательные числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению, которое описывает полную загрузку машины:

$0.8 \cdot x + 0.9 \cdot y = 10$

Чтобы упростить вычисления, умножим обе части уравнения на 10:

$8x + 9y = 100$

Теперь нам нужно найти решение этого линейного диофантова уравнения в целых неотрицательных числах. Выразим одну из переменных, например $x$, через другую:

$8x = 100 - 9y$

$x = \frac{100 - 9y}{8}$

Поскольку $x$ должно быть целым числом, выражение $(100 - 9y)$ должно быть кратно 8. Мы можем решить это методом перебора, учитывая, что $x$ и $y$ должны быть неотрицательными.

Из уравнения $8x = 100 - 9y$ следует, что $100 - 9y \ge 0$, так как $8x \ge 0$.

$9y \le 100$

$y \le \frac{100}{9}$

$y \le 11.11...$

Также из уравнения $9y = 100 - 8x$ видно, что $100 - 8x$ должно быть кратно 9.

$100 - 8x \equiv 0 \pmod{9}$

Так как $100 = 11 \cdot 9 + 1$, то $100 \equiv 1 \pmod{9}$.А $-8 \equiv 1 \pmod{9}$.

Получаем сравнение:$1 + 1 \cdot x \equiv 0 \pmod{9}$

$x \equiv -1 \pmod{9}$ или $x \equiv 8 \pmod{9}$.

Это означает, что $x$ может быть 8, 17, ...Поскольку $8x \le 100$, то $x \le \frac{100}{8} = 12.5$.Единственное подходящее значение из возможных для $x$ - это $x=8$.

Подставим $x=8$ в уравнение $8x + 9y = 100$:

$8 \cdot 8 + 9y = 100$

$64 + 9y = 100$

$9y = 100 - 64$

$9y = 36$

$y = 4$

Мы нашли пару целых неотрицательных чисел $(x=8, y=4)$, которая является решением уравнения. Это означает, что если взять 8 контейнеров по 0,8 т и 4 контейнера по 0,9 т, их общая масса составит:

$8 \cdot 0.8 \text{ т} + 4 \cdot 0.9 \text{ т} = 6.4 \text{ т} + 3.6 \text{ т} = 10 \text{ т}$.

Это в точности равно грузоподъёмности автомашины.

Ответ: Да, можно. Для этого нужно загрузить 8 контейнеров по 0,8 т и 4 контейнера по 0,9 т.