Номер 696, страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

696. Детали упакованы в коробки двух видов: по 5 штук и по 8 штук. Всего упаковано 69 деталей. Сколько понадобилось коробок каждого вида?

Пусть $x$ — количество коробок, в которые упаковано по 5 деталей, а $y$ — количество коробок, в которые упаковано по 8 деталей. Так как всего упаковано 69 деталей, мы можем составить уравнение:

$5x + 8y = 69$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами, так как они обозначают количество коробок. Для решения этого диофантова уравнения выразим одну переменную через другую. Например, выразим $x$:

$5x = 69 - 8y$

$x = \frac{69 - 8y}{5}$

Так как $x$ должен быть целым числом, выражение $(69 - 8y)$ должно делиться на 5 без остатка. Это означает, что последняя цифра этого выражения должна быть 0 или 5. Число 69 оканчивается на 9. Чтобы разность $(69 - 8y)$ оканчивалась на 0 или 5, число $8y$ должно оканчиваться на 4 или 9. Поскольку $8y$ — это произведение четного числа на целое, оно не может оканчиваться на 9. Следовательно, $8y$ должно оканчиваться на 4.

Будем перебирать целые неотрицательные значения $y$, чтобы найти те, при которых $8y$ оканчивается на 4.
- При $y=0$, $8y=0$. $69-0=69$ (не делится на 5).
- При $y=1$, $8y=8$. $69-8=61$ (не делится на 5).
- При $y=2$, $8y=16$. $69-16=53$ (не делится на 5).
- При $y=3$, $8y=24$. $69-24=45$. $45$ делится на 5. Находим $x$: $x = \frac{45}{5} = 9$. Это первое решение: 9 коробок по 5 деталей и 3 коробки по 8 деталей. Проверим: $5 \cdot 9 + 8 \cdot 3 = 45 + 24 = 69$.
- При $y=4$, $8y=32$. $69-32=37$ (не делится на 5).
- При $y=5$, $8y=40$. $69-40=29$ (не делится на 5).
- При $y=6$, $8y=48$. $69-48=21$ (не делится на 5).
- При $y=7$, $8y=56$. $69-56=13$ (не делится на 5).
- При $y=8$, $8y=64$. $69-64=5$. $5$ делится на 5. Находим $x$: $x = \frac{5}{5} = 1$. Это второе решение: 1 коробка по 5 деталей и 8 коробок по 8 деталей. Проверим: $5 \cdot 1 + 8 \cdot 8 = 5 + 64 = 69$.

Если взять $y$ больше 8 (например, $y=9$), то $8y$ будет больше 69 ($8 \cdot 9 = 72$), что приведет к отрицательному значению $x$, а количество коробок не может быть отрицательным. Значит, других решений в целых неотрицательных числах нет.

Ответ: Существует два возможных варианта: 9 коробок по 5 деталей и 3 коробки по 8 деталей, либо 1 коробка по 5 деталей и 8 коробок по 8 деталей.