Номер 716, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными. Параграф 38. Графический способ решения систем уравнений. Упражнения - номер 716, страница 242.

Условие.

716. 1) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x - y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + y = 1, \\ 2x - y = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + 2y = 5, \\ 2x - y = 5; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + 3y = 6, \\ 2x + y = 7. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Сложим первое уравнение со вторым, чтобы исключить переменную $y$:

$(x + y) + (x - y) = 5 + 1$

$2x = 6$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{6}{2}$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x = 3$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$3 + y = 5$

$y = 5 - 3$

$y = 2$

Проверим полученное решение $(3; 2)$, подставив значения в оба исходных уравнения:

$3 + 2 = 5$ (Верно)

$3 - 2 = 1$ (Верно)

Ответ: $(3; 2)$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ 2x - y = 3 \end{cases} $

Используем метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны. Сложим два уравнения системы:

$(2x + y) + (2x - y) = 1 + 3$

$4x = 4$

$x = 1$

Подставим значение $x = 1$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$2(1) + y = 1$

$2 + y = 1$

$y = 1 - 2$

$y = -1$

Проверим полученное решение $(1; -1)$, подставив значения в оба исходных уравнения:

$2(1) + (-1) = 2 - 1 = 1$ (Верно)

$2(1) - (-1) = 2 + 1 = 3$ (Верно)

Ответ: $(1; -1)$.

3) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x - y = 5 \end{cases} $

Для решения методом сложения, умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:

$2 \cdot (2x - y) = 2 \cdot 5$

$4x - 2y = 10$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 4x - 2y = 10 \end{cases} $

Сложим уравнения полученной системы:

$(x + 2y) + (4x - 2y) = 5 + 10$

$5x = 15$

$x = \frac{15}{5}$

$x = 3$

Подставим $x = 3$ во второе исходное уравнение:

$2(3) - y = 5$

$6 - y = 5$

$y = 6 - 5$

$y = 1$

Проверим полученное решение $(3; 1)$, подставив значения в оба исходных уравнения:

$3 + 2(1) = 3 + 2 = 5$ (Верно)

$2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$ (Верно)

Ответ: $(3; 1)$.

4) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + 3y = 6 \\ 2x + y = 7 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 7 - 2x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x + 3(7 - 2x) = 6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x + 21 - 6x = 6$

$-5x = 6 - 21$

$-5x = -15$

$x = \frac{-15}{-5}$

$x = 3$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x = 3$ в выражение для $y$:

$y = 7 - 2(3)$

$y = 7 - 6$

$y = 1$

Проверим полученное решение $(3; 1)$, подставив значения в оба исходных уравнения:

$3 + 3(1) = 3 + 3 = 6$ (Верно)

$2(3) + 1 = 6 + 1 = 7$ (Верно)

Ответ: $(3; 1)$.