Номер 715, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить графически систему уравнений (715-717).

715. 1) $\begin{cases} y = 4x, \\ y - x = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = -3x, \\ y - x = -4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y = 2x, \\ x - y = -3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y = 3x, \\ 4x - y = 3. \end{cases}$

Для решения системы уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точки пересечения графиков и будут являться решением системы.

1) Решим систему уравнений $\begin{cases} y = 4x \\ y - x = 3 \end{cases}$.

Первое уравнение $y = 4x$ — это прямая пропорциональность. График — прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$. Для построения найдем еще одну точку: при $x = 1$, $y = 4 \cdot 1 = 4$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(1,4)$.

Второе уравнение $y - x = 3$. Преобразуем его к виду линейной функции $y = x + 3$. График — прямая. Для построения найдем две точки. При $x = 0$, $y = 3$. При $x = -3$, $y = 0$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0,3)$ и $(-3,0)$.

Построив графики в одной системе координат, мы найдем их точку пересечения. Точка пересечения имеет координаты $(1,4)$.

Проверка: подставим $x=1$ и $y=4$ в оба уравнения.
$4 = 4 \cdot 1$ (верно)
$4 - 1 = 3$ (верно)
Ответ: $(1, 4)$.

2) Решим систему уравнений $\begin{cases} y = -3x \\ y - x = -4 \end{cases}$.

Первое уравнение $y = -3x$. График — прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$. Найдем вторую точку: при $x = 1$, $y = -3 \cdot 1 = -3$. Прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(1,-3)$.

Второе уравнение $y - x = -4$. Преобразуем к виду $y = x - 4$. График — прямая. Найдем две точки: при $x = 0$, $y = -4$. При $x = 4$, $y = 0$. Прямая проходит через точки $(0,-4)$ и $(4,0)$.

Построив графики, находим, что они пересекаются в точке с координатами $(1,-3)$.

Проверка: подставим $x=1$ и $y=-3$ в оба уравнения.
$-3 = -3 \cdot 1$ (верно)
$-3 - 1 = -4$ (верно)
Ответ: $(1, -3)$.

3) Решим систему уравнений $\begin{cases} y = 2x \\ x - y = -3 \end{cases}$.

Первое уравнение $y = 2x$. График — прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$. Найдем вторую точку: при $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 = 2$. Прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(1,2)$.

Второе уравнение $x - y = -3$. Преобразуем к виду $y = x + 3$. График — прямая. Найдем две точки: при $x = 0$, $y = 3$. При $x = -3$, $y = 0$. Прямая проходит через точки $(0,3)$ и $(-3,0)$.

Построив графики, находим точку их пересечения. Она имеет координаты $(3,6)$.

Проверка: подставим $x=3$ и $y=6$ в оба уравнения.
$6 = 2 \cdot 3$ (верно)
$3 - 6 = -3$ (верно)
Ответ: $(3, 6)$.

4) Решим систему уравнений $\begin{cases} y = 3x \\ 4x - y = 3 \end{cases}$.

Первое уравнение $y = 3x$. График — прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$. Найдем вторую точку: при $x = 1$, $y = 3 \cdot 1 = 3$. Прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(1,3)$.

Второе уравнение $4x - y = 3$. Преобразуем к виду $y = 4x - 3$. График — прямая. Найдем две точки: при $x = 0$, $y = -3$. При $x = 1$, $y = 4 \cdot 1 - 3 = 1$. Прямая проходит через точки $(0,-3)$ и $(1,1)$.

Построив графики, находим точку их пересечения. Она имеет координаты $(3,9)$.

Проверка: подставим $x=3$ и $y=9$ в оба уравнения.
$9 = 3 \cdot 3$ (верно)
$4 \cdot 3 - 9 = 12 - 9 = 3$ (верно)
Ответ: $(3, 9)$.