Номер 720, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

720. Показать графически, что система уравнений имеет единственное решение:

1) $\begin{cases} 2x + 3y = 13, \\ 3x - y = 13; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + y = 7, \\ x - 2y = 1. \end{cases}$

1)

Чтобы графически показать, что система уравнений имеет единственное решение, необходимо построить графики каждого уравнения и убедиться, что они пересекаются в одной-единственной точке.

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 3x - y = 13 \end{cases} $$

Каждое уравнение в системе является линейным, его график — прямая. Для построения каждой прямой найдем по две точки.

Для первого уравнения $2x + 3y = 13$:

• Если $x=2$, то $2(2) + 3y = 13 \Rightarrow 4 + 3y = 13 \Rightarrow 3y = 9 \Rightarrow y = 3$. Точка $(2, 3)$.
• Если $x=5$, то $2(5) + 3y = 13 \Rightarrow 10 + 3y = 13 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1$. Точка $(5, 1)$.

Для второго уравнения $3x - y = 13$:

• Если $x=4$, то $3(4) - y = 13 \Rightarrow 12 - y = 13 \Rightarrow y = -1$. Точка $(4, -1)$.
• Если $x=5$, то $3(5) - y = 13 \Rightarrow 15 - y = 13 \Rightarrow y = 2$. Точка $(5, 2)$.

Построим графики этих прямых на координатной плоскости. Прямая $2x + 3y = 13$ проходит через точки $(2, 3)$ и $(5, 1)$. Прямая $3x - y = 13$ проходит через точки $(4, -1)$ и $(5, 2)$.

Чтобы доказать, что прямые пересекаются и не являются параллельными, сравним их угловые коэффициенты. Для этого выразим $y$ в каждом уравнении (приведем к виду $y = kx + b$):

• $2x + 3y = 13 \Rightarrow 3y = -2x + 13 \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x + \frac{13}{3}$. Угловой коэффициент $k_1 = -\frac{2}{3}$.
• $3x - y = 13 \Rightarrow y = 3x - 13$. Угловой коэффициент $k_2 = 3$.

Поскольку угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ не равны, прямые не параллельны, а значит, они пересекаются ровно в одной точке. Наличие одной точки пересечения означает, что система уравнений имеет единственное решение.

Ответ: Графики уравнений системы являются прямыми линиями с разными угловыми коэффициентами ($k_1 = -2/3$ и $k_2 = 3$). Следовательно, они пересекаются в одной точке, что доказывает наличие единственного решения у системы.

2)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 2y = 1 \end{cases} $$

Как и в предыдущем случае, нам нужно построить графики уравнений и показать, что они имеют одну общую точку.

Для первого уравнения $2x + y = 7$ найдем две точки:

• Если $x=2$, то $2(2) + y = 7 \Rightarrow 4 + y = 7 \Rightarrow y = 3$. Точка $(2, 3)$.
• Если $x=3$, то $2(3) + y = 7 \Rightarrow 6 + y = 7 \Rightarrow y = 1$. Точка $(3, 1)$.

Для второго уравнения $x - 2y = 1$ найдем две точки:

• Если $x=1$, то $1 - 2y = 1 \Rightarrow -2y = 0 \Rightarrow y = 0$. Точка $(1, 0)$.
• Если $x=3$, то $3 - 2y = 1 \Rightarrow -2y = -2 \Rightarrow y = 1$. Точка $(3, 1)$.

При построении графиков мы видим, что прямая $2x + y = 7$ проходит через точки $(2, 3)$ и $(3, 1)$, а прямая $x - 2y = 1$ — через точки $(1, 0)$ и $(3, 1)$.

Обе прямые проходят через точку $(3, 1)$, которая и является их точкой пересечения. Это единственная общая точка для двух несовпадающих прямых.

Также можно проверить угловые коэффициенты:

• $2x + y = 7 \Rightarrow y = -2x + 7$. Угловой коэффициент $k_1 = -2$.
• $x - 2y = 1 \Rightarrow 2y = x - 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{2}$.

Так как $k_1 \neq k_2$, прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: Графики уравнений системы являются прямыми, которые пересекаются в одной точке $(3, 1)$. Это показывает, что система имеет единственное решение.