Номер 1, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными. Параграф 39. Решение задач с помощью систем уравнений. Устные вопросы и задания - номер 1, страница 246.

Условие.

1. Перечислить этапы решения текстовой задачи с помощью системы уравнений.

Решение 1.

Решение 5.

Решение текстовой задачи с помощью системы уравнений можно разбить на несколько последовательных этапов. Этот метод применяется, когда в задаче есть две или более неизвестные величины, связанные между собой различными условиями.

1. Этап 1: Анализ условия задачи и составление математической модели

   На этом этапе необходимо внимательно прочитать условие задачи, чтобы понять суть описанной ситуации. Следует выделить:

   • основные величины, о которых идет речь в задаче;
   • известные значения этих величин (данные);
   • неизвестные величины, которые требуется найти (искомые);
   • связи и зависимости между величинами, описанные в условии.

   Результатом этого этапа является так называемая математическая модель – словесное описание того, как величины связаны между собой.

2. Этап 2: Введение переменных

   На втором этапе необходимо выбрать неизвестные величины, которые будут обозначены переменными (например, $x$, $y$, $z$, ...). Обычно в качестве переменных выбирают именно те величины, которые требуется найти в задаче. Важно четко определить, что означает каждая введенная переменная, включая единицы измерения, если они есть. Например: "Пусть $x$ км/ч – скорость первого пешехода, а $y$ км/ч – скорость второго пешехода".

3. Этап 3: Составление системы уравнений

   Это ключевой этап, на котором происходит перевод текстовой информации с обычного языка на математический. Используя введенные переменные, нужно составить уравнения, каждое из которых математически описывает одно из условий или одну из связей, указанных в задаче. Количество независимых уравнений должно соответствовать количеству введенных переменных. Все составленные уравнения объединяются в систему. Например, если в задаче говорится, что "сумма двух чисел равна 15", а "их разность равна 3", и мы ввели переменные $x$ и $y$ для этих чисел, то система будет выглядеть так:

   $ \begin{cases} x + y = 15 \\ x - y = 3 \end{cases} $

4. Этап 4: Решение системы уравнений

   На четвертом этапе необходимо решить полученную систему уравнений, используя один из известных алгебраических методов:

   • Метод подстановки: из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют полученное выражение в другое уравнение системы.
   • Метод алгебраического сложения (или вычитания): уравнения системы умножают на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами, а затем почленно складывают уравнения.
   • Графический метод: строят графики каждого уравнения системы в одной координатной плоскости и находят координаты точки их пересечения (если она есть).

   В результате решения системы находятся численные значения для каждой из введенных переменных.

5. Этап 5: Интерпретация полученного решения и запись ответа

   Последний этап заключается в проверке и осмыслении найденных значений. Необходимо:

   • Проверить, соответствуют ли найденные значения смыслу задачи (например, скорость, масса, длина не могут быть отрицательными).
   • Соотнести полученные значения с тем, что обозначала каждая переменная.
   • Сформулировать развернутый ответ на вопрос, поставленный в условии задачи. Ответ должен быть ясным и полным.

   Например, если было найдено $x=9$ и $y=6$, а вопрос был "Найдите эти числа", то ответ будет: "Искомые числа – 9 и 6".

Ответ:

Этапы решения текстовой задачи с помощью системы уравнений:

1. Анализ условия задачи, выделение известных и искомых величин и связей между ними.
2. Введение переменных для обозначения искомых величин.
3. Составление системы уравнений на основе условий задачи.
4. Решение полученной системы уравнений одним из алгебраических методов (подстановки, сложения и др.).
5. Интерпретация результатов, проверка их соответствия условию задачи и запись ответа.