Номер 717, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

717. 1) $\begin{cases} 2x + y = 8, \\ 2x - y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x + y = 2, \\ x + 2y = -6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x + y = 1, \\ y - x = 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 4x + 3y = 6, \\ 2x + y = 4; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 3x - y = -6, \\ -2x + 5y = 4; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 3x + y = 4, \\ -5x + 2y = 8. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 8 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $
Это удобнее всего решить методом алгебраического сложения. Сложим первое уравнение со вторым:
$ (2x + y) + (2x - y) = 8 + 1 $
$ 4x = 9 $
$ x = \frac{9}{4} = 2.25 $
Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$ 2 \cdot (\frac{9}{4}) + y = 8 $
$ \frac{9}{2} + y = 8 $
$ y = 8 - \frac{9}{2} = \frac{16}{2} - \frac{9}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 $
Проверим, подставив значения во второе уравнение: $2 \cdot (\frac{9}{4}) - \frac{7}{2} = \frac{9}{2} - \frac{7}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Верно.
Ответ: $x = \frac{9}{4}, y = \frac{7}{2}$ или $(2.25; 3.5)$.

2) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x + y = 2 \\ x + 2y = -6 \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$ y = 2 - 3x $
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ x + 2(2 - 3x) = -6 $
$ x + 4 - 6x = -6 $
$ -5x = -10 $
$ x = 2 $
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$ y = 2 - 3 \cdot 2 = 2 - 6 = -4 $
Ответ: $x = 2, y = -4$ или $(2; -4)$.

3) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ y - x = 4 \end{cases} $
Приведем второе уравнение к стандартному виду: $-x + y = 4$. Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$ y = 4 + x $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ 2x + (4 + x) = 1 $
$ 3x + 4 = 1 $
$ 3x = -3 $
$ x = -1 $
Теперь найдем $y$:
$ y = 4 + (-1) = 3 $
Ответ: $x = -1, y = 3$ или $(-1; 3)$.

4) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 4x + 3y = 6 \\ 2x + y = 4 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$ y = 4 - 2x $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ 4x + 3(4 - 2x) = 6 $
$ 4x + 12 - 6x = 6 $
$ -2x = 6 - 12 $
$ -2x = -6 $
$ x = 3 $
Теперь найдем $y$:
$ y = 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 $
Ответ: $x = 3, y = -2$ или $(3; -2)$.

5) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x - y = -6 \\ -2x + 5y = 4 \end{cases} $
Используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$ 15x - 5y = -30 $
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$ (15x - 5y) + (-2x + 5y) = -30 + 4 $
$ 13x = -26 $
$ x = -2 $
Подставим значение $x$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:
$ 3(-2) - y = -6 $
$ -6 - y = -6 $
$ -y = 0 $
$ y = 0 $
Ответ: $x = -2, y = 0$ или $(-2; 0)$.

6) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x + y = 4 \\ -5x + 2y = 8 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$ y = 4 - 3x $
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ -5x + 2(4 - 3x) = 8 $
$ -5x + 8 - 6x = 8 $
$ -11x = 8 - 8 $
$ -11x = 0 $
$ x = 0 $
Теперь найдем $y$:
$ y = 4 - 3 \cdot 0 = 4 $
Ответ: $x = 0, y = 4$ или $(0; 4)$.