Номер 719, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 38. Графический способ решения систем уравнений. Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными - номер 719, страница 243.

Условие.

719. Показать, что система уравнений имеет бесконечно много решений:

1) $\begin{cases} x + y = 0, \\ 2x + 2y = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 3, \\ 2x - 2y = 6. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Чтобы показать, что система уравнений имеет бесконечно много решений, нужно доказать, что уравнения в системе являются зависимыми, то есть одно уравнение можно получить из другого путем умножения или деления на число. Геометрически это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

1) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 0, \\ 2x + 2y = 0; \end{cases} $

Заметим, что второе уравнение можно получить, умножив первое уравнение на 2:

$2 \cdot (x + y) = 2 \cdot 0$

$2x + 2y = 0$

Поскольку второе уравнение является следствием первого, система фактически сводится к одному уравнению с двумя переменными: $x + y = 0$.

Такое уравнение имеет бесконечное множество решений. Мы можем выразить одну переменную через другую, например, $y = -x$. Теперь, выбирая любое значение для $x$, мы можем найти соответствующее ему значение $y$. Например:

• если $x = 1$, то $y = -1$. Решение: $(1, -1)$.
• если $x = -5$, то $y = 5$. Решение: $(-5, 5)$.
• если $x = 0$, то $y = 0$. Решение: $(0, 0)$.

Так как мы можем выбрать бесконечно много значений для $x$, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого умножением на 2, то есть уравнения равносильны и описывают одну и ту же прямую.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3, \\ 2x - 2y = 6. \end{cases} $

Разделим обе части второго уравнения на 2:

$(2x - 2y) : 2 = 6 : 2$

$x - y = 3$

После преобразования мы получили уравнение, которое в точности совпадает с первым уравнением системы. Это означает, что уравнения зависимы и описывают одну и ту же прямую на координатной плоскости. Любая точка этой прямой является решением системы.

Выразим $x$ из уравнения $x - y = 3$:

$x = y + 3$

Подставляя любое значение для $y$, мы найдем соответствующее значение $x$. Например:

• если $y = 0$, то $x = 3$. Решение: $(3, 0)$.
• если $y = 1$, то $x = 4$. Решение: $(4, 1)$.
• если $y = -2$, то $x = 1$. Решение: $(1, -2)$.

Поскольку существует бесконечное множество значений, которые может принимать $y$, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение является следствием первого (получается умножением на 2), и оба уравнения описывают одну и ту же прямую.