Номер 718, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

718. Показать, что система уравнений не имеет решений:

1) $\begin{cases} y = 3x, \\ 6x - 2y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 6, \\ 2x = 1 - 2y. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = 3x, \\ 6x - 2y = 3; \end{cases} $

Для доказательства того, что система не имеет решений, воспользуемся методом подстановки. В первом уравнении переменная y уже выражена через x. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$6x - 2(3x) = 3$

Теперь решим полученное уравнение относительно x. Раскроем скобки:

$6x - 6x = 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$0 = 3$

В результате преобразований мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от значения переменных. Это означает, что не существует такой пары чисел $(x, y)$, которая бы удовлетворяла обоим уравнениям системы одновременно.

Геометрически это означает, что графики данных линейных уравнений являются параллельными прямыми, которые никогда не пересекаются. Проверим это, приведя оба уравнения к виду $y = kx + b$ (уравнение прямой с угловым коэффициентом):

• Первое уравнение: $y = 3x$. Угловой коэффициент $k_1 = 3$, смещение $b_1 = 0$.
• Второе уравнение: $6x - 2y = 3$. Выразим y: $-2y = 3 - 6x \implies 2y = 6x - 3 \implies y = 3x - 1.5$. Угловой коэффициент $k_2 = 3$, смещение $b_2 = -1.5$.

Так как угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2 = 3$), а смещения различны ($b_1 \ne b_2$), прямые параллельны.

Ответ: система не имеет решений, так как при попытке ее решить мы приходим к противоречию (неверному равенству $0 = 3$).

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 6, \\ 2x = 1 - 2y; \end{cases} $

Для начала преобразуем второе уравнение, перенеся все переменные в левую часть, чтобы система имела стандартный вид:

$2x + 2y = 1$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} x + y = 6, \\ 2x + 2y = 1; \end{cases} $

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим обе части первого уравнения на 2, чтобы коэффициенты при переменных совпали с коэффициентами во втором уравнении:

$2 \cdot (x + y) = 2 \cdot 6$

$2x + 2y = 12$

Теперь наша система имеет вид:

$ \begin{cases} 2x + 2y = 12, \\ 2x + 2y = 1; \end{cases} $

Левые части уравнений полностью совпадают, а правые — нет. Если бы у системы было решение, то выражение $2x + 2y$ должно было бы одновременно равняться и 12, и 1, что невозможно. Вычтем из первого уравнения второе:

$(2x + 2y) - (2x + 2y) = 12 - 1$

$0 = 11$

Мы получили неверное числовое равенство, что доказывает отсутствие решений у данной системы уравнений.

Геометрическая интерпретация также показывает, что прямые параллельны. Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$:

• Первое уравнение: $x + y = 6 \implies y = -x + 6$. Угловой коэффициент $k_1 = -1$.
• Второе уравнение: $2x + 2y = 1 \implies 2y = 1 - 2x \implies y = -x + 0.5$. Угловой коэффициент $k_2 = -1$.

Угловые коэффициенты равны, а смещения различны, значит, прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений, так как при ее решении мы приходим к противоречию (неверному равенству $0 = 11$).