Номер 723, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

723. Составить такое линейное уравнение с двумя неизвестными, чтобы оно вместе с уравнением $-x - y = 4$ образовало систему:

1) имеющую единственное решение;

2) имеющую бесконечно много решений;

3) не имеющую решений.

Для анализа системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными вида $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ используют соотношения их коэффициентов. Исходное уравнение: $-x - y = 4$. Здесь $a_1 = -1$, $b_1 = -1$, $c_1 = 4$. Нам нужно составить второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ для каждого из трех случаев.

1) имеющую единственное решение;
Система имеет единственное решение, если отношение коэффициентов при переменных не равны, то есть выполняется условие $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$. Геометрически это означает, что прямые, соответствующие уравнениям, пересекаются в одной точке.
Подставим известные коэффициенты: $$ \frac{-1}{a_2} \neq \frac{-1}{b_2} $$ Это неравенство верно, если $a_2 \neq b_2$. Мы можем выбрать любые значения для $a_2$ и $b_2$, которые удовлетворяют этому условию, и абсолютно любое значение для $c_2$.
Например, выберем $a_2 = 1$, $b_2 = -1$ (поскольку $1 \neq -1$) и $c_2 = 0$. Получаем уравнение $x - y = 0$.
Проверим условие для системы: $$ \begin{cases} -x - y = 4 \\ x - y = 0 \end{cases} $$ $\frac{-1}{1} \neq \frac{-1}{-1}$, что эквивалентно $-1 \neq 1$. Условие выполнено, система имеет единственное решение.
Ответ: $x - y = 0$ (возможны и другие ответы, например, $x+2y=3$).

2) имеющую бесконечно много решений;
Система имеет бесконечно много решений, если коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$. Геометрически это означает, что прямые совпадают.
Для этого второе уравнение должно быть получено из первого умножением на некоторое число $k \neq 0$.
Возьмем исходное уравнение $-x - y = 4$ и умножим все его части, например, на $k=2$: $$ 2 \cdot (-x - y) = 2 \cdot 4 $$ $$ -2x - 2y = 8 $$ Проверим условие для системы: $$ \begin{cases} -x - y = 4 \\ -2x - 2y = 8 \end{cases} $$ $\frac{-1}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{4}{8}$, что эквивалентно $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Условие выполнено.
Ответ: $-2x - 2y = 8$ (или любое уравнение вида $k(-x-y)=4k$ при $k \neq 0$, например, $x+y=-4$).

3) не имеющую решений.
Система не имеет решений, если коэффициенты при переменных пропорциональны, но это отношение не равно отношению свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$. Геометрически это означает, что прямые параллельны, но не совпадают.
Из условия $\frac{-1}{a_2} = \frac{-1}{b_2}$ следует, что $a_2=b_2$. Возьмем, например, $a_2 = -1$ и $b_2 = -1$.
Тогда левая часть второго уравнения будет такой же, как и у первого: $-x - y$.
Теперь нужно, чтобы свободные члены не удовлетворяли этой пропорции. Условие $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ при $a_1=-1, a_2=-1, c_1=4$ дает нам $\frac{-1}{-1} \neq \frac{4}{c_2}$, то есть $1 \neq \frac{4}{c_2}$, откуда $c_2 \neq 4$.
Выберем любое значение для $c_2$, не равное 4, например, $c_2 = 0$. Получаем уравнение $-x - y = 0$.
Проверим условие для системы: $$ \begin{cases} -x - y = 4 \\ -x - y = 0 \end{cases} $$ $\frac{-1}{-1} = \frac{-1}{-1} \neq \frac{4}{0}$. Условие $1=1$ выполнено, а $1 \neq \infty$ также верно. Система не имеет решений, так как выражение $-x-y$ не может одновременно равняться 4 и 0.
Ответ: $-x - y = 0$ (или любое уравнение вида $-x-y=c$, где $c \neq 4$, например, $x+y=5$).