Номер 2, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными. Параграф 39. Решение задач с помощью систем уравнений. Устные вопросы и задания - номер 2, страница 246.

Условие.

2. Объяснить необходимость выполнения третьего этапа решения задач с помощью уравнений.

Решение 1.

Решение 5.

Решение текстовых задач с помощью уравнений традиционно делится на три основных этапа:

1. Составление математической модели (анализ условия, введение переменной и составление уравнения).
2. Работа с математической моделью (непосредственно решение полученного уравнения).
3. Интерпретация результата и ответ на вопрос задачи.

Третий этап является неотъемлемой и критически важной частью решения, и его необходимость обусловлена несколькими причинами.

1. Проверка соответствия найденного корня вопросу задачи

Часто переменная, которую мы вводим для составления уравнения (например, $x$), является лишь промежуточной величиной, а не конечным ответом на вопрос задачи. После нахождения значения $x$ необходимо вернуться к условию задачи и выполнить дополнительные действия, чтобы найти искомую величину.

Пример: Длина прямоугольника на 3 см больше его ширины, а периметр равен 26 см. Найдите площадь прямоугольника.

• Этап 1: Пусть ширина равна $x$ см, тогда длина — $(x+3)$ см. Уравнение периметра: $2(x + (x+3)) = 26$.
• Этап 2: Решаем уравнение: $2(2x+3) = 26 \Rightarrow 2x+3 = 13 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x=5$.
• Этап 3: Мы нашли $x=5$. Это ширина прямоугольника. Но вопрос задачи — найти площадь. Для этого сначала находим длину: $5+3=8$ см. Затем вычисляем площадь: $S = 5 \times 8 = 40$ см². Если бы мы остановились на втором этапе, ответ «5» был бы неверным.

2. Проверка решения на соответствие условиям задачи и здравому смыслу

Математическая модель (уравнение) может иметь корни, которые являются формально верными, но не имеют смысла в контексте реальной ситуации, описанной в задаче. Такие корни называют посторонними для данной задачи, и их необходимо отсеять.

• Ограничения по физическому смыслу: Величины, такие как длина, масса, скорость, время, не могут быть отрицательными.
  Пример: Решая задачу на движение, мы можем получить квадратное уравнение с двумя корнями, например, $v_1 = 10$ и $v_2 = -2$. Так как скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -2$ отбрасывается как не соответствующий условию.
• Ограничения по типу числа: Количество людей, предметов, этажей должно быть целым положительным числом.
  Пример: Если задача спрашивает о количестве учеников в классе, и в результате решения уравнения мы получаем $x_1 = 30$ и $x_2 = 30.5$, то дробный корень $x_2$ очевидно не подходит.
• Ограничения, вытекающие из условия (область допустимых значений): Иногда само условие накладывает ограничения на переменную. Например, при решении задачи $\frac{10}{x} + \frac{10}{x-2} = 3$, мы получаем корни $x_1 = 5$ и $x_2 = \frac{4}{3}$. Если $x$ — это скорость лодки, а $2$ — скорость течения, то для движения против течения необходимо, чтобы $x > 2$. Следовательно, корень $x_2 = \frac{4}{3}$ не удовлетворяет этому условию и является посторонним.

3. Формулировка окончательного ответа

Последний этап включает в себя не только проверку, но и грамотную запись финального ответа. Ответ должен быть полным, ясным, содержать правильные единицы измерения и точно соответствовать вопросу, поставленному в задаче.

Например, недостаточно просто написать «40». Правильный ответ должен быть сформулирован так: «Площадь прямоугольника равна 40 см²».

Таким образом, третий этап решения задачи — это не формальность, а ключевой момент, который связывает абстрактную математическую модель с реальной задачей. Он гарантирует, что полученный ответ является не просто корнем уравнения, а осмысленным, корректным и полным решением поставленной проблемы.

Ответ:

Третий этап решения задач с помощью уравнений (интерпретация результата) необходим для того, чтобы:

1. Найти ответ на поставленный в задаче вопрос. Часто найденный корень уравнения $x$ не является конечным ответом, а служит лишь для нахождения искомой величины (например, найти площадь, зная сторону).
2. Проверить осмысленность полученного решения. Необходимо отсеять корни, которые не соответствуют реальным условиям задачи (например, отрицательная длина, дробное количество людей) или нарушают область допустимых значений, заданную условием.
3. Сформулировать полный и правильный ответ. Ответ должен быть дан в явном виде, с указанием единиц измерения и в полном соответствии с вопросом задачи.

Без этого этапа решение является неполным и может привести к неверному ответу, даже если само уравнение было составлено и решено правильно.