Номер 774, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

774. Выполнить умножение многочлена на одночлен:

1) $(a^2 - ab + b^2) \cdot 3ab^3;$

2) $(2m^2 - 3mn + 4n^2) \cdot \frac{1}{12}m^2n^2;$

3) $(6a^3 - 4ab^2 + 1) \cdot \frac{1}{2}ab;$

4) $(8m^3 - 7m^2n + 1) \cdot \frac{1}{8}mn.$

1) Для того чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные результаты сложить, используя распределительное свойство умножения.

$(a^2 - ab + b^2) \cdot 3ab^3 = a^2 \cdot (3ab^3) - ab \cdot (3ab^3) + b^2 \cdot (3ab^3)$

Применяя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), выполним умножение для каждого члена:

$a^2 \cdot 3ab^3 = 3a^{2+1}b^3 = 3a^3b^3$

$-ab \cdot 3ab^3 = -3a^{1+1}b^{1+3} = -3a^2b^4$

$b^2 \cdot 3ab^3 = 3ab^{2+3} = 3ab^5$

Результатом является многочлен:

$3a^3b^3 - 3a^2b^4 + 3ab^5$

Ответ: $3a^3b^3 - 3a^2b^4 + 3ab^5$.

2) Умножим каждый член многочлена $(2m^2 - 3mn + 4n^2)$ на одночлен $\frac{1}{12}m^2n^2$.

$(2m^2 - 3mn + 4n^2) \cdot \frac{1}{12}m^2n^2 = 2m^2 \cdot (\frac{1}{12}m^2n^2) - 3mn \cdot (\frac{1}{12}m^2n^2) + 4n^2 \cdot (\frac{1}{12}m^2n^2)$

Выполним умножение для каждого члена, складывая степени и умножая коэффициенты:

$2m^2 \cdot \frac{1}{12}m^2n^2 = \frac{2}{12}m^{2+2}n^2 = \frac{1}{6}m^4n^2$

$-3mn \cdot \frac{1}{12}m^2n^2 = -\frac{3}{12}m^{1+2}n^{1+2} = -\frac{1}{4}m^3n^3$

$4n^2 \cdot \frac{1}{12}m^2n^2 = \frac{4}{12}m^2n^{2+2} = \frac{1}{3}m^2n^4$

Результатом является многочлен:

$\frac{1}{6}m^4n^2 - \frac{1}{4}m^3n^3 + \frac{1}{3}m^2n^4$

Ответ: $\frac{1}{6}m^4n^2 - \frac{1}{4}m^3n^3 + \frac{1}{3}m^2n^4$.

3) Умножим многочлен $(6a^3 - 4ab^2 + 1)$ на одночлен $\frac{1}{2}ab$.

$(6a^3 - 4ab^2 + 1) \cdot \frac{1}{2}ab = 6a^3 \cdot (\frac{1}{2}ab) - 4ab^2 \cdot (\frac{1}{2}ab) + 1 \cdot (\frac{1}{2}ab)$

Выполним умножение для каждого члена:

$6a^3 \cdot \frac{1}{2}ab = \frac{6}{2}a^{3+1}b = 3a^4b$

$-4ab^2 \cdot \frac{1}{2}ab = -\frac{4}{2}a^{1+1}b^{2+1} = -2a^2b^3$

$1 \cdot \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ab$

Результатом является многочлен:

$3a^4b - 2a^2b^3 + \frac{1}{2}ab$

Ответ: $3a^4b - 2a^2b^3 + \frac{1}{2}ab$.

4) Умножим многочлен $(8m^3 - 7m^2n + 1)$ на одночлен $\frac{1}{8}mn$.

$(8m^3 - 7m^2n + 1) \cdot \frac{1}{8}mn = 8m^3 \cdot (\frac{1}{8}mn) - 7m^2n \cdot (\frac{1}{8}mn) + 1 \cdot (\frac{1}{8}mn)$

Выполним умножение для каждого члена:

$8m^3 \cdot \frac{1}{8}mn = \frac{8}{8}m^{3+1}n = m^4n$

$-7m^2n \cdot \frac{1}{8}mn = -\frac{7}{8}m^{2+1}n^{1+1} = -\frac{7}{8}m^3n^2$

$1 \cdot \frac{1}{8}mn = \frac{1}{8}mn$

Результатом является многочлен:

$m^4n - \frac{7}{8}m^3n^2 + \frac{1}{8}mn$

Ответ: $m^4n - \frac{7}{8}m^3n^2 + \frac{1}{8}mn$.