Номер 780, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры VII класса - номер 780, страница 259.

Условие.

780. Тело движется равномерно со скоростью 4 км/ч.

1) Написать формулу пути $s$ этого тела за $t$ часов.

2) Составить таблицу значений $s$ при $t$, равном 0; 1; 2; 3; 4.

3) Построить график изменения пути данного тела в зависимости от изменения времени движения.

4) Найти по графику путь, пройденный телом за 1 ч 30 мин; за 3,5 ч.

5) Найти по графику, за какое время тело пройдёт 10 км; 6 км.

6) Доказать, что отношение ординаты любой точки полученного графика к её абсциссе равно 4.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

1) Написать формулу пути s этого тела за t часов.

При равномерном движении путь $s$ равен произведению скорости $v$ на время движения $t$. Общая формула пути имеет вид: $s = v \cdot t$. По условию задачи, скорость тела $v = 4$ км/ч. Подставив это значение в общую формулу, получаем искомую зависимость пути от времени для данного тела: $s = 4t$. В этой формуле путь $s$ измеряется в километрах (км), а время $t$ – в часах (ч).

Ответ: $s = 4t$.

2) Составить таблицу значений s при t, равном 0; 1; 2; 3; 4.

Используя формулу $s = 4t$, рассчитаем значения пути $s$ (в км) для заданных значений времени $t$ (в часах):

• При $t = 0$ ч: $s = 4 \cdot 0 = 0$ км.
• При $t = 1$ ч: $s = 4 \cdot 1 = 4$ км.
• При $t = 2$ ч: $s = 4 \cdot 2 = 8$ км.
• При $t = 3$ ч: $s = 4 \cdot 3 = 12$ км.
• При $t = 4$ ч: $s = 4 \cdot 4 = 16$ км.

Результаты сведем в таблицу.

Ответ:

$t$, ч	0	1	2	3	4
$s$, км	0	4	8	12	16

3) Построить график изменения пути данного тела в зависимости от изменения времени движения.

Зависимость $s = 4t$ является прямой пропорциональностью, ее график — прямая линия, проходящая через начало координат. Ось абсцисс (горизонтальная) будет представлять время $t$ (в часах), а ось ординат (вертикальная) — путь $s$ (в километрах). Для построения графика используем точки из таблицы, вычисленной в предыдущем пункте: (0; 0), (1; 4), (2; 8), (3; 12), (4; 16). Так как время и путь не могут быть отрицательными в данном контексте, график представляет собой луч, выходящий из начала координат.

Ответ: График зависимости пути от времени – это луч, выходящий из начала координат, который представлен ниже.

4) Найти по графику путь, пройденный телом за 1 ч 30 мин; за 3,5 ч.

Для нахождения пути по графику, нужно найти заданное значение времени на горизонтальной оси ($t$), провести вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до вертикальной оси ($s$).

• Время $t = 1$ ч $30$ мин. Переведем минуты в десятичную дробь часа: $30$ мин $= 0,5$ ч. Таким образом, $t = 1,5$ ч. На графике (показано красным пунктиром) находим на оси $t$ значение 1,5, поднимаемся до графика и движемся влево к оси $s$. Получаем значение $s = 6$ км.
• Время $t = 3,5$ ч. На графике (показано красным пунктиром) находим на оси $t$ значение 3,5, поднимаемся до графика и движемся влево к оси $s$. Получаем значение $s = 14$ км.

Проверка по формуле: $s(1,5) = 4 \cdot 1,5 = 6$ км. $s(3,5) = 4 \cdot 3,5 = 14$ км. Результаты совпадают.

Ответ: за 1 ч 30 мин тело пройдет 6 км; за 3,5 ч тело пройдет 14 км.

5) Найти по графику, за какое время тело пройдет 10 км; 6 км.

Для нахождения времени по графику, нужно найти заданное значение пути на вертикальной оси ($s$), провести от этой точки горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем опустить перпендикуляр на горизонтальную ось ($t$).

• Путь $s = 10$ км. На графике (показано зеленым пунктиром) находим на оси $s$ значение 10, движемся вправо до пересечения с графиком и опускаемся на ось $t$. Получаем значение $t = 2,5$ ч, что равно 2 часам 30 минутам.
• Путь $s = 6$ км. На графике (показано красным пунктиром) находим на оси $s$ значение 6, движемся вправо до пересечения с графиком и опускаемся на ось $t$. Получаем значение $t = 1,5$ ч, что равно 1 часу 30 минутам.

Проверка по формуле: для $s = 10$, $10 = 4t \implies t = 10/4 = 2,5$ ч. Для $s = 6$, $6 = 4t \implies t = 6/4 = 1,5$ ч. Результаты совпадают.

Ответ: 10 км тело пройдет за 2,5 ч (2 ч 30 мин); 6 км тело пройдет за 1,5 ч (1 ч 30 мин).

6) Доказать, что отношение ординаты любой точки полученного графика к её абсциссе равно 4.

Пусть $M(t; s)$ – произвольная точка на построенном графике, отличная от начала координат (то есть $t \neq 0$). Координаты этой точки (абсцисса $t$ и ордината $s$) связаны уравнением $s = 4t$, поскольку точка лежит на графике этой функции. Найдем отношение ординаты $s$ к абсциссе $t$ для этой точки: $$ \frac{s}{t} $$ Подставим в это отношение выражение для $s$ из уравнения графика: $$ \frac{s}{t} = \frac{4t}{t} $$ Поскольку мы рассматриваем точку, где $t \neq 0$, мы можем сократить дробь на $t$: $$ \frac{4t}{t} = 4 $$ Таким образом, для любой точки графика (кроме начала координат) отношение ее ординаты к абсциссе постоянно и равно 4. В физическом смысле это отношение есть скорость движения тела. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Для любой точки графика $(t; s)$, где $t \neq 0$, отношение ординаты к абсциссе $\frac{s}{t} = \frac{4t}{t} = 4$.