Номер 779, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры VII класса - номер 779, страница 259.

Условие.

779. Разложить на множители:

1) $a^4 + 6a^3 + 9a^2;$

2) $4 + 8b + 4b^2;$

3) $(1 - a)^2 - 4;$

4) $25 - (2 - 3a)^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

1) Для разложения на множители выражения $a^4 + 6a^3 + 9a^2$ первым шагом вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для всех членов является $a^2$.
$a^4 + 6a^3 + 9a^2 = a^2(a^2 + 6a + 9)$
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $a^2 + 6a + 9$. Это выражение является полным квадратом, так как его можно представить в виде формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае $x = a$ и $y = 3$. Проверим: $a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 + 6a + 9$.
Таким образом, $a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2$.
Подставляем это обратно в наше выражение:
$a^2(a^2 + 6a + 9) = a^2(a + 3)^2$.
Ответ: $a^2(a + 3)^2$

2) Рассмотрим выражение $4 + 8b + 4b^2$. Сначала вынесем общий множитель 4 за скобки.
$4 + 8b + 4b^2 = 4(1 + 2b + b^2)$
Выражение в скобках $1 + 2b + b^2$ представляет собой полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x = 1$ и $y = b$. Проверим: $1^2 + 2 \cdot 1 \cdot b + b^2 = 1 + 2b + b^2$.
Следовательно, $1 + 2b + b^2 = (1 + b)^2$.
В итоге получаем:
$4(1 + 2b + b^2) = 4(1 + b)^2$.
Ответ: $4(1 + b)^2$

3) Для разложения выражения $(1 - a)^2 - 4$ воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
В данном случае $x = (1 - a)$ и $y^2 = 4$, следовательно $y = 2$.
$(1 - a)^2 - 4 = (1 - a)^2 - 2^2 = ((1 - a) - 2)((1 - a) + 2)$.
Теперь упростим выражения в каждой из скобок:
Первая скобка: $(1 - a) - 2 = 1 - a - 2 = -a - 1$.
Вторая скобка: $(1 - a) + 2 = 1 - a + 2 = 3 - a$.
Перемножаем полученные выражения: $(-a - 1)(3 - a)$.
Для более удобного вида можно вынести $-1$ из обеих скобок: $(-1)(a + 1)(-1)(a - 3) = (a + 1)(a - 3)$.
Ответ: $(a + 1)(a - 3)$

4) Рассмотрим выражение $25 - (2 - 3a)^2$. Это также разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Здесь $x^2 = 25$, значит $x = 5$, и $y = (2 - 3a)$.
$25 - (2 - 3a)^2 = 5^2 - (2 - 3a)^2 = (5 - (2 - 3a))(5 + (2 - 3a))$.
Упростим выражения в скобках, раскрывая внутренние скобки:
Первая скобка: $5 - (2 - 3a) = 5 - 2 + 3a = 3 + 3a$.
Вторая скобка: $5 + (2 - 3a) = 5 + 2 - 3a = 7 - 3a$.
Получаем произведение: $(3 + 3a)(7 - 3a)$.
В первой скобке можно вынести общий множитель 3:
$3(1 + a)(7 - 3a)$.
Ответ: $3(1 + a)(7 - 3a)$