Номер 777, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упростить (777–778).

777.

1) $(a+1)(a-1)(a^2+1);$

2) $(1-2b)(1+2b)(1+4b^2);$

3) $(2ab^2+3)(3-2ab^2)+4a^2b^4;$

4) $(\frac{a}{2}-5)(5+\frac{a}{2})+25.$

1) Для упрощения выражения $(a+1)(a-1)(a^2+1)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Применим ее последовательно.

Сначала перемножим первые две скобки:

$(a+1)(a-1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.

Теперь исходное выражение примет вид:

$(a^2 - 1)(a^2 + 1)$.

Снова применяем формулу разности квадратов, где в роли $x$ выступает $a^2$, а в роли $y$ — единица:

$(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$.

Ответ: $a^4 - 1$.

2) Для упрощения выражения $(1-2b)(1+2b)(1+4b^2)$ также используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Умножим первые две скобки:

$(1-2b)(1+2b) = 1^2 - (2b)^2 = 1 - 4b^2$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$(1 - 4b^2)(1 + 4b^2)$.

Еще раз применим ту же формулу, где $x=1$, а $y=4b^2$:

$(1 - 4b^2)(1 + 4b^2) = 1^2 - (4b^2)^2 = 1 - 16b^4$.

Ответ: $1 - 16b^4$.

3) Упростим выражение $(2ab^2+3)(3-2ab^2)+4a^2b^4$.

В первом произведении поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(3+2ab^2)$. Выражение примет вид: $(3+2ab^2)(3-2ab^2)+4a^2b^4$.

Произведение скобок представляет собой формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=3$, а $y=2ab^2$.

$(3+2ab^2)(3-2ab^2) = 3^2 - (2ab^2)^2 = 9 - 4a^2b^4$.

Теперь подставим это в полное выражение:

$(9 - 4a^2b^4) + 4a^2b^4$.

Слагаемые $-4a^2b^4$ и $4a^2b^4$ являются противоположными и в сумме дают ноль, поэтому они взаимно уничтожаются:

$9 - 4a^2b^4 + 4a^2b^4 = 9$.

Ответ: $9$.

4) Упростим выражение $(\frac{a}{2}-5)(5+\frac{a}{2})+25$.

Во второй скобке поменяем слагаемые местами: $(5+\frac{a}{2}) = (\frac{a}{2}+5)$.

Теперь произведение имеет вид $(\frac{a}{2}-5)(\frac{a}{2}+5)$, что является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=\frac{a}{2}$, а $y=5$.

$(\frac{a}{2}-5)(\frac{a}{2}+5) = (\frac{a}{2})^2 - 5^2 = \frac{a^2}{4} - 25$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$(\frac{a^2}{4} - 25) + 25$.

Слагаемые $-25$ и $25$ взаимно уничтожаются:

$\frac{a^2}{4} - 25 + 25 = \frac{a^2}{4}$.

Ответ: $\frac{a^2}{4}$.