Номер 1231, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1231, страница 235.

Условие.

1231. Два брата ходят из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды через 15 мин после выхода из школы первый побежал в школу и, добежав до неё, немедленно бросился догонять второго. Оставшись один, второй продолжал идти домой в 2 раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 мин позже, чем обычно. Во сколько раз скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем следующие обозначения:$v_x$ – обычная скорость ходьбы братьев.$v_б$ – скорость бега первого брата.Искомая величина – это отношение $k = \frac{v_б}{v_x}$.Все расчеты будем вести в минутах.

1. За первые 15 минут братья, идя вместе со скоростью $v_x$, отошли от школы на расстояние $S_1 = 15 \cdot v_x$.

2. После этого первый брат побежал обратно к школе. Время, которое он на это затратил, составляет:$t_{назад} = \frac{S_1}{v_б} = \frac{15 \cdot v_x}{k \cdot v_x} = \frac{15}{k}$ минут.

3. Пока первый брат бежал обратно, второй продолжал идти домой, но с вдвое меньшей скоростью, то есть $\frac{v_x}{2}$. За время $t_{назад}$ он прошел дополнительное расстояние:$S_2 = \frac{v_x}{2} \cdot t_{назад} = \frac{v_x}{2} \cdot \frac{15}{k} = \frac{15 v_x}{2k}$.К моменту, когда первый брат вернулся в школу, второй брат находился от нее на расстоянии $S_{разрыва} = S_1 + S_2 = 15 v_x + \frac{15 v_x}{2k} = 15 v_x (1 + \frac{1}{2k})$.

4. Затем первый брат начал догонять второго. Скорость их сближения была равна разности их скоростей: $v_{сбл} = v_б - \frac{v_x}{2} = k v_x - \frac{v_x}{2} = v_x (k - \frac{1}{2})$. Время, которое потребовалось на погоню до момента встречи, равно:$t_{погони} = \frac{S_{разрыва}}{v_{сбл}} = \frac{15 v_x (1 + \frac{1}{2k})}{v_x (k - \frac{1}{2})} = \frac{15 \frac{2k+1}{2k}}{\frac{2k-1}{2}} = \frac{15(2k+1)}{k(2k-1)}$ минут.

5. Найдем общее время с момента выхода из школы до момента встречи братьев ($t_{встречи}$). Оно равно сумме всех временных отрезков:$t_{встречи} = 15 + t_{назад} + t_{погони} = 15 + \frac{15}{k} + \frac{15(2k+1)}{k(2k-1)}$.Приведем к общему знаменателю второе и третье слагаемые:$t_{встречи} = 15 + \frac{15(2k-1) + 15(2k+1)}{k(2k-1)} = 15 + \frac{30k-15+30k+15}{k(2k-1)} = 15 + \frac{60k}{k(2k-1)} = 15 + \frac{60}{2k-1}$ минут.

6. Место встречи находится на расстоянии $S_{встречи}$ от школы. Это расстояние первый брат пробежал от школы за время $t_{погони}$ со скоростью $v_б$:$S_{встречи} = v_б \cdot t_{погони} = k v_x \cdot \frac{15(2k+1)}{k(2k-1)} = \frac{15 v_x (2k+1)}{2k-1}$.

7. Если бы братья все время шли с обычной скоростью $v_x$, то они бы дошли до места встречи за время:$t_{норм} = \frac{S_{встречи}}{v_x} = \frac{15(2k+1)}{2k-1}$ минут.

8. По условию, братья пришли домой на 6 минут позже обычного. Это опоздание накопилось за время до их встречи, так как после встречи они шли вместе с первоначальной скоростью. Следовательно, разница между фактическим временем движения до точки встречи и нормальным временем движения до этой же точки составляет 6 минут:$t_{встречи} - t_{норм} = 6$.Подставим полученные выражения в это уравнение:$(15 + \frac{60}{2k-1}) - (\frac{15(2k+1)}{2k-1}) = 6$.Приведем левую часть к общему знаменателю $(2k-1)$:$\frac{15(2k-1) + 60 - 15(2k+1)}{2k-1} = 6$.Раскроем скобки в числителе:$\frac{30k - 15 + 60 - 30k - 15}{2k-1} = 6$.$\frac{30}{2k-1} = 6$.$30 = 6 \cdot (2k-1)$.$30 = 12k - 6$.$36 = 12k$.$k = 3$.

Ответ: Скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев в 3 раза.