Номер 1227, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1227, страница 235.

Условие.

1227. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин вышли навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус вышел на 1 ч 15 мин раньше, а легковой автомобиль на 15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_а$ — скорость автобуса в км/ч, а $v_л$ — скорость легкового автомобиля в км/ч. Расстояние между городами А и В составляет $S = 180$ км.

1. Анализ первого условия (фактическая поездка)
Автобус и автомобиль выехали одновременно в 6 ч 20 мин и встретились в 7 ч 50 мин. Найдем общее время их движения до встречи:
$t_1 = 7 \text{ ч } 50 \text{ мин } - 6 \text{ ч } 20 \text{ мин } = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин }$
Переведем это время в часы: $1 \text{ ч } 30 \text{ мин } = 1.5 \text{ часа}$.
При движении навстречу друг другу их скорости складываются. Расстояние, которое они проехали вместе, равно $S$. Составим первое уравнение, используя формулу $S = v \cdot t$:
$(v_а + v_л) \cdot t_1 = S$
$(v_а + v_л) \cdot 1.5 = 180$
Разделим обе части уравнения на 1.5:
$v_а + v_л = \frac{180}{1.5}$
$v_а + v_л = 120$ (1)

2. Анализ второго условия (гипотетическая поездка)
Если бы автобус выехал на 1 ч 15 мин раньше, то его время отправления было бы:
$6 \text{ ч } 20 \text{ мин } - 1 \text{ ч } 15 \text{ мин } = 5 \text{ ч } 05 \text{ мин}$.
Если бы легковой автомобиль выехал на 15 мин позже, то его время отправления было бы:
$6 \text{ ч } 20 \text{ мин } + 15 \text{ мин } = 6 \text{ ч } 35 \text{ мин}$.
В этом случае они встретились бы в 7 ч 35 мин.
Найдем время в пути для каждого:
Время в пути автобуса: $t_а = 7 \text{ ч } 35 \text{ мин } - 5 \text{ ч } 05 \text{ мин } = 2 \text{ ч } 30 \text{ мин } = 2.5 \text{ часа}$.
Время в пути легкового автомобиля: $t_л = 7 \text{ ч } 35 \text{ мин } - 6 \text{ ч } 35 \text{ мин } = 1 \text{ час}$.
Сумма расстояний, пройденных автобусом ($S_а = v_а \cdot t_а$) и легковым автомобилем ($S_л = v_л \cdot t_л$), равна общему расстоянию $S$:
$v_а \cdot t_а + v_л \cdot t_л = S$
$v_а \cdot 2.5 + v_л \cdot 1 = 180$
$2.5v_а + v_л = 180$ (2)

3. Решение системы уравнений
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} v_а + v_л = 120 \\ 2.5v_а + v_л = 180 \end{cases}$
Удобно вычесть первое уравнение из второго, чтобы избавиться от переменной $v_л$:
$(2.5v_а + v_л) - (v_а + v_л) = 180 - 120$
$1.5v_а = 60$
$v_а = \frac{60}{1.5}$
$v_а = 40$ (км/ч) — скорость автобуса.
Теперь подставим найденное значение $v_а$ в первое уравнение, чтобы найти $v_л$:
$40 + v_л = 120$
$v_л = 120 - 40$
$v_л = 80$ (км/ч) — скорость легкового автомобиля.

Ответ: Скорость автобуса — 40 км/ч, скорость легкового автомобиля — 80 км/ч.