Номер 1223, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1223, страница 234.

Условие.

1223. Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 168, а их наибольший общий делитель равен 24.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть искомые натуральные числа — это $a$ и $b$.

Согласно условиям задачи, их сумма равна 168, а их наибольший общий делитель (НОД) равен 24. Запишем это в виде системы условий:
$a + b = 168$
$НОД(a, b) = 24$

Из того, что $НОД(a, b) = 24$, следует, что оба числа, $a$ и $b$, делятся на 24 без остатка. Следовательно, их можно представить в виде произведений:
$a = 24 \cdot x$
$b = 24 \cdot y$
Здесь $x$ и $y$ — это натуральные числа, которые являются взаимно простыми, то есть $НОД(x, y) = 1$. Это обязательное условие, так как если бы $x$ и $y$ имели общий делитель $d > 1$, то $НОД(a, b)$ был бы равен $24 \cdot d$, что противоречило бы условию задачи.

Теперь подставим эти выражения в первое уравнение, описывающее сумму чисел:
$24x + 24y = 168$

Вынесем общий множитель 24 за скобки:
$24(x + y) = 168$

Чтобы найти сумму $x + y$, разделим обе части уравнения на 24:
$x + y = \frac{168}{24} = 7$

Теперь нам необходимо найти все пары натуральных и взаимно простых чисел $x$ и $y$, сумма которых равна 7. Чтобы избежать дублирования пар искомых чисел ($a, b$), будем рассматривать только те пары $(x, y)$, в которых $x < y$.

• Пара 1: $x = 1, y = 6$. Сумма: $1+6=7$. Проверяем взаимную простоту: $НОД(1, 6) = 1$. Эта пара подходит.
• Пара 2: $x = 2, y = 5$. Сумма: $2+5=7$. Проверяем взаимную простоту: $НОД(2, 5) = 1$. Эта пара подходит.
• Пара 3: $x = 3, y = 4$. Сумма: $3+4=7$. Проверяем взаимную простоту: $НОД(3, 4) = 1$. Эта пара подходит.

Мы получили три возможные пары для $(x, y)$. Теперь для каждой из них вычислим искомые числа $a$ и $b$.

1. Для пары $x=1, y=6$:
$a = 24 \cdot 1 = 24$
$b = 24 \cdot 6 = 144$
Первая пара чисел: 24 и 144.

2. Для пары $x=2, y=5$:
$a = 24 \cdot 2 = 48$
$b = 24 \cdot 5 = 120$
Вторая пара чисел: 48 и 120.

3. Для пары $x=3, y=4$:
$a = 24 \cdot 3 = 72$
$b = 24 \cdot 4 = 96$
Третья пара чисел: 72 и 96.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют три пары натуральных чисел.

Ответ: 24 и 144; 48 и 120; 72 и 96.