Страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1208. Разложите на множители многочлен:

а) $x^8 + x^4 - 2;$

б) $a^5 - a^2 - a - 1;$

в) $n^4 + 4;$

г) $n^4 + n^2 + 1.$

а) $x^8 + x^4 - 2$

Этот многочлен является биквадратным относительно $x^4$. Сделаем замену переменной, пусть $y = x^4$. Тогда выражение примет вид квадратного трехчлена:

$y^2 + y - 2$

Разложим этот трехчлен на множители. Найдем корни уравнения $y^2 + y - 2 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно -2, а их сумма равна -1. Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Следовательно, разложение имеет вид: $(y - 1)(y - (-2)) = (y - 1)(y + 2)$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $y = x^4$:

$(x^4 - 1)(x^4 + 2)$

Первый множитель, $x^4 - 1$, можно разложить дальше как разность квадратов, поскольку $x^4 = (x^2)^2$ и $1 = 1^2$:

$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$

Множитель $x^2 - 1$ также является разностью квадратов:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Собирая все полученные множители вместе, получаем окончательное разложение исходного многочлена:

$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)$.

б) $a^5 - a^2 - a - 1$

Для разложения этого многочлена применим метод группировки. Переставим слагаемые и сгруппируем их следующим образом:

$a^5 - a^2 - a - 1 = (a^5 - a) - (a^2 + a + 1)$

Это неверный путь. Попробуем другую группировку. Добавим и вычтем $a$:

$a^5 - a^2 - a - 1 = a^5 - a - a^2 - 1$

Сгруппируем слагаемые: $(a^5 - a) - (a^2 + 1)$.

Из первой группы вынесем общий множитель $a$:

$a(a^4 - 1) - (a^2 + 1)$

Выражение $a^4 - 1$ является разностью квадратов, $a^4 - 1 = (a^2 - 1)(a^2 + 1)$. Подставим это в наше выражение:

$a(a^2 - 1)(a^2 + 1) - (a^2 + 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(a^2 + 1)$, который можно вынести за скобку:

$(a^2 + 1) \cdot [a(a^2 - 1) - 1]$

Раскроем скобки во втором множителе:

$(a^2 + 1)(a^3 - a - 1)$

Ответ: $(a^2 + 1)(a^3 - a - 1)$.

в) $n^4 + 4$

Для разложения этого выражения воспользуемся методом выделения полного квадрата. Для этого добавим и вычтем слагаемое $4n^2$:

$n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2$

Первые три слагаемых образуют полный квадрат суммы $(n^2 + 2)^2$:

$(n^4 + 4n^2 + 4) - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - 4n^2$

Теперь мы получили разность квадратов, так как $4n^2 = (2n)^2$. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = n^2 + 2$ и $B = 2n$:

$((n^2 + 2) - 2n)((n^2 + 2) + 2n)$

Запишем слагаемые в стандартном порядке:

$(n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$

Ответ: $(n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$.

г) $n^4 + n^2 + 1$

Этот многочлен также раскладывается на множители методом выделения полного квадрата. Чтобы получить полный квадрат из выражения $n^4 + 1$, нам не хватает слагаемого $2n^2$. Представим $n^2$ как $2n^2 - n^2$:

$n^4 + n^2 + 1 = n^4 + 2n^2 + 1 - n^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат $(n^2 + 1)^2$:

$(n^4 + 2n^2 + 1) - n^2 = (n^2 + 1)^2 - n^2$

Мы получили разность квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = n^2 + 1$ и $B = n$:

$((n^2 + 1) - n)((n^2 + 1) + n)$

Упорядочим слагаемые в каждом множителе:

$(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$

Ответ: $(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$.

1209. Докажите, что $p^2 - 1$ кратно 24, если $p$ — простое число, большее 3.

Чтобы доказать, что выражение $p^2 - 1$ кратно 24, необходимо показать, что оно делится на 3 и на 8, поскольку $24 = 3 \times 8$, а числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Сначала разложим выражение $p^2 - 1$ на множители, используя формулу разности квадратов:$p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$.

Докажем делимость на 3. По условию, $p$ — простое число, большее 3, следовательно, $p$ не делится на 3. При делении на 3 любое целое число, не кратное трем, может давать в остатке 1 или 2.

• Если остаток от деления $p$ на 3 равен 1, то $p$ можно записать в виде $p = 3k + 1$ для некоторого целого $k$. Тогда множитель $(p - 1) = (3k + 1) - 1 = 3k$, то есть он делится на 3.
• Если остаток от деления $p$ на 3 равен 2, то $p$ можно записать в виде $p = 3k + 2$. Тогда множитель $(p + 1) = (3k + 2) + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)$, то есть он делится на 3.

В любом из этих случаев один из множителей, $(p - 1)$ или $(p + 1)$, делится на 3. Следовательно, их произведение $p^2 - 1$ также делится на 3.

Теперь докажем делимость на 8. Так как $p$ — простое число, большее 3, оно является нечетным числом (единственное четное простое число — это 2).Тогда $(p - 1)$ и $(p + 1)$ — это два последовательных четных числа.

Произведение двух последовательных четных чисел всегда делится на 8. Пусть эти числа $2n$ и $2n + 2$. Их произведение равно $2n(2n + 2) = 4n(n + 1)$.Числа $n$ и $(n + 1)$ — это два последовательных целых числа, поэтому одно из них обязательно является четным. Это означает, что их произведение $n(n + 1)$ делится на 2.Таким образом, всё выражение $4n(n + 1)$ делится на $4 \times 2 = 8$.Поскольку $(p - 1)$ и $(p + 1)$ — это последовательные четные числа, их произведение $p^2 - 1$ делится на 8.

Итак, мы доказали, что $p^2 - 1$ делится и на 3, и на 8. Так как числа 3 и 8 взаимно просты, то выражение $p^2 - 1$ должно делиться на их произведение, то есть на $3 \times 8 = 24$.

Ответ: Утверждение доказано.

1210. Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.

Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$, где $n \in \mathbb{N}$.

Требуется доказать, что разность их кубов, то есть $(n+1)^3 - n^3$, при делении на 6 даёт остаток 1.

Раскроем это выражение, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(n+1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 + 1^3) - n^3$

Упростим, сократив $n^3$:

$n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1$

Вынесем общий множитель $3n$ за скобки в первых двух слагаемых:

$3n(n+1) + 1$

Чтобы доказать, что это выражение при делении на 6 даёт остаток 1, необходимо показать, что слагаемое $3n(n+1)$ делится на 6 без остатка.

Рассмотрим произведение $n(n+1)$. Это произведение двух последовательных натуральных чисел. В любой паре последовательных чисел одно всегда является чётным. Следовательно, их произведение $n(n+1)$ всегда делится на 2.

Таким образом, выражение $3n(n+1)$ имеет множитель 3 и множитель 2 (поскольку $n(n+1)$ делится на 2). Если число делится на 2 и на 3, которые являются взаимно простыми числами, то оно делится и на их произведение, то есть на $2 \times 3 = 6$.

Итак, мы доказали, что $3n(n+1)$ всегда кратно 6. Это означает, что $3n(n+1)$ можно представить в виде $6k$ для некоторого целого числа $k$.

Подставим это в наше выражение для разности кубов:

$(n+1)^3 - n^3 = 6k + 1$

Выражение вида $6k + 1$ по определению деления с остатком при делении на 6 даёт остаток 1. Что и требовалось доказать.

Ответ: Разность кубов двух последовательных натуральных чисел $(n+1)^3 - n^3$ преобразуется к виду $3n(n+1)+1$. Произведение двух последовательных чисел $n(n+1)$ всегда является чётным, то есть делится на 2. Следовательно, слагаемое $3n(n+1)$ делится на $3 \times 2 = 6$. Таким образом, всю разность можно представить в виде $6k+1$, где $k$ — целое число. Такое выражение при делении на 6 даёт остаток 1.

1211. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Пусть у нас есть пять последовательных натуральных чисел. Для удобства вычислений обозначим среднее из них через $n$. Тогда эти числа можно записать в виде: $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$. Чтобы все числа в этой последовательности были натуральными (то есть $\ge 1$), необходимо, чтобы выполнялось условие $n-2 \ge 1$, что означает $n \ge 3$.

Найдем сумму квадратов этих пяти чисел. Обозначим эту сумму как $S$: $S = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: $S = (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Обратим внимание, что члены, содержащие $n$ в первой степени, взаимно уничтожаются: $S = (n^2+n^2+n^2+n^2+n^2) + (-4n-2n+2n+4n) + (4+1+1+4)$
$S = 5n^2 + 0 + 10$
$S = 5n^2 + 10$

Нам нужно доказать, что полученная сумма $S$ не может быть квадратом натурального числа. Докажем это методом от противного. Предположим, что существует такое натуральное число $k$, что $S$ является его квадратом: $5n^2 + 10 = k^2$

Вынесем общий множитель 5 в левой части равенства: $5(n^2 + 2) = k^2$

Из этого уравнения видно, что $k^2$ делится на 5. Так как 5 является простым числом, то если квадрат числа делится на 5, то и само число должно делиться на 5. Следовательно, $k$ можно представить в виде $k = 5m$, где $m$ — некоторое натуральное число.

Подставим это выражение для $k$ обратно в наше уравнение: $5(n^2 + 2) = (5m)^2$
$5(n^2 + 2) = 25m^2$

Разделим обе части уравнения на 5: $n^2 + 2 = 5m^2$

Рассмотрим это уравнение с точки зрения теории остатков (сравнений по модулю 5). Правая часть уравнения, $5m^2$, всегда делится на 5 нацело, поэтому ее остаток от деления на 5 равен 0. Следовательно, левая часть также должна давать остаток 0 при делении на 5: $n^2 + 2 \equiv 0 \pmod{5}$

Из этого сравнения следует: $n^2 \equiv -2 \pmod{5}$
Что то же самое, что и: $n^2 \equiv 3 \pmod{5}$

Теперь выясним, какие остатки может давать квадрат любого натурального числа при делении на 5. Для этого проверим все возможные остатки для самого числа $n$ (0, 1, 2, 3, 4):

• Если $n \equiv 0 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 1 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 2 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 3 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv 4 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 4 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$.

Таким образом, мы видим, что квадрат любого целого (и натурального) числа при делении на 5 может давать в остатке только 0, 1 или 4. Остаток 3 невозможен.

Мы пришли к противоречию: из нашего предположения о том, что сумма является квадратом, следует, что $n^2$ должен давать остаток 3 при делении на 5, но мы показали, что это невозможно ни для какого натурального числа $n$. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа, что и требовалось доказать.

1212. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

Пусть $n$ — натуральное число, которое не кратно 3. Согласно определению делимости, это означает, что при делении на 3 число $n$ дает в остатке либо 1, либо 2.

Нам необходимо доказать, что выражение $n^2 - 1$ кратно 3, то есть делится на 3 без остатка.

Для доказательства воспользуемся формулой разности квадратов и представим выражение в виде произведения:$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$.

Теперь рассмотрим два возможных случая для числа $n$.

Случай 1: Число $n$ при делении на 3 дает в остатке 1.В этом случае его можно представить в виде $n = 3k + 1$, где $k$ — некоторое неотрицательное целое число.Подставим это значение в один из множителей нашего произведения:$n - 1 = (3k + 1) - 1 = 3k$.Тогда все выражение будет равно $(n - 1)(n + 1) = 3k(n + 1)$.Поскольку один из множителей этого произведения ($3k$) очевидно делится на 3, то и все произведение кратно 3.

Случай 2: Число $n$ при делении на 3 дает в остатке 2.В этом случае его можно представить в виде $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое неотрицательное целое число.Подставим это значение в другой множитель нашего произведения:$n + 1 = (3k + 2) + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)$.Тогда все выражение будет равно $(n - 1)(n + 1) = (n - 1) \cdot 3(k + 1)$.Аналогично первому случаю, один из множителей ($3(k + 1)$) делится на 3, а значит, и все произведение кратно 3.

Мы рассмотрели все возможные варианты для натурального числа, не кратного 3, и в каждом из них разность $n^2 - 1$ оказалась кратной 3.

Ответ: утверждение доказано. Для любого натурального числа $n$, не кратного 3, разность $n^2 - 1$ можно представить в виде произведения $(n-1)(n+1)$. Так как $n$ не делится на 3, то один из сомножителей — либо $(n-1)$, либо $(n+1)$ — обязательно будет делиться на 3. Следовательно, их произведение всегда кратно 3. Что и требовалось доказать.

1213. Упростите выражение

$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1).$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Исходное выражение: $P = (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.
Чтобы применить формулу, нам не хватает множителя $(2-1)$. Умножим и разделим выражение на $(2-1)$. Так как $(2-1) = 1$, значение выражения не изменится.
$P = (2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.
Теперь будем последовательно применять формулу разности квадратов:
1. Свернем первые два множителя: $(2 - 1)(2 + 1) = 2^2 - 1^2 = 2^2 - 1$.
Выражение примет вид:
$P = (2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.
2. Снова применим формулу к первым двум множителям: $(2^2 - 1)(2^2 + 1) = (2^2)^2 - 1^2 = 2^4 - 1$.
Выражение станет таким:
$P = (2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.
3. Продолжая эту последовательность, получаем:
$(2^4 - 1)(2^4 + 1) = (2^4)^2 - 1^2 = 2^8 - 1$.
$P = (2^8 - 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.
4. Следующий шаг:
$(2^8 - 1)(2^8 + 1) = (2^8)^2 - 1^2 = 2^{16} - 1$.
$P = (2^{16} - 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.
5. И далее:
$(2^{16} - 1)(2^{16} + 1) = (2^{16})^2 - 1^2 = 2^{32} - 1$.
$P = (2^{32} - 1)(2^{32} + 1)$.
6. Наконец, последний шаг:
$(2^{32} - 1)(2^{32} + 1) = (2^{32})^2 - 1^2 = 2^{64} - 1$.
Таким образом, мы упростили исходное выражение.
Ответ: $2^{64} - 1$.

1214. Докажите, что уравнение $x^2 - y^2 = 30$ не имеет целых решений.

Для доказательства того, что уравнение $x^2 - y^2 = 30$ не имеет решений в целых числах, можно использовать два разных подхода.

Способ 1: Анализ четности множителей

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = 30$.

Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то их разность $(x-y)$ и сумма $(x+y)$ также являются целыми числами. Обозначим их как $a = x-y$ и $b = x+y$. Тогда $a \cdot b = 30$.

Выразим $x$ и $y$ через $a$ и $b$:$x = \frac{(x+y) + (x-y)}{2} = \frac{b+a}{2}$,$y = \frac{(x+y) - (x-y)}{2} = \frac{b-a}{2}$.

Для того чтобы $x$ и $y$ были целыми, необходимо, чтобы суммы $a+b$ и $b-a$ были четными. Это условие выполняется только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковую четность (то есть оба являются четными или оба являются нечетными).

Рассмотрим произведение $a \cdot b = 30$. Если бы $a$ и $b$ были оба нечетные, то их произведение $a \cdot b$ также было бы нечетным. Но 30 — четное число, поэтому этот случай невозможен.Если бы $a$ и $b$ были оба четные, то их произведение $a \cdot b$ должно было бы делиться на 4 (так как если $a=2k$ и $b=2m$, то $a \cdot b = 4km$). Однако число 30 на 4 без остатка не делится ($30 = 4 \cdot 7 + 2$). Следовательно, этот случай также невозможен.

Таким образом, множители $a$ и $b$ должны иметь разную четность (один четный, другой нечетный), чтобы их произведение было равно 30. Но в этом случае их сумма $a+b$ будет нечетной, а значит $x = \frac{a+b}{2}$ не будет целым числом. Полученное противоречие доказывает, что целочисленных решений у уравнения нет.

Способ 2: Сравнение по модулю 4

Рассмотрим уравнение в целых числах с точки зрения арифметики остатков. Возьмем остатки от деления обеих частей уравнения на 4.$x^2 - y^2 \equiv 30 \pmod{4}$.

Правая часть: $30 = 4 \cdot 7 + 2$, следовательно, $30 \equiv 2 \pmod{4}$. Уравнение принимает вид: $x^2 - y^2 \equiv 2 \pmod{4}$.

Теперь проанализируем левую часть. Квадрат любого целого числа $n$ при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1. Если $n$ — четное число ($n=2k$), то $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod{4}$. Если $n$ — нечетное число ($n=2k+1$), то $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 \equiv 1 \pmod{4}$.

Рассмотрим все возможные комбинации остатков для $x^2 - y^2 \pmod{4}$: $0 - 0 \equiv 0$; $1 - 0 \equiv 1$; $0 - 1 \equiv -1 \equiv 3$; $1 - 1 \equiv 0$. Таким образом, разность квадратов двух любых целых чисел при делении на 4 может давать в остатке только 0, 1 или 3. Остаток 2 невозможен.

Мы пришли к противоречию: левая часть уравнения $x^2 - y^2$ не может быть сравнима с 2 по модулю 4, в то время как правая часть $30$ сравнима с 2 по модулю 4. Это означает, что равенство $x^2 - y^2 = 30$ невозможно в целых числах.

Ответ: Доказано, что уравнение $x^2 - y^2 = 30$ не имеет решений в целых числах.

1215. Докажите, что не существует целых коэффициентов $a, b, c$ и $d$, таких, что значение многочлена $ax^3 + bx^2 + cx + d$ равно 1 при $x = 19$ и равно 2 при $x = 62$.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что такие целые коэффициенты $a, b, c, d$ существуют.

Обозначим многочлен как $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

По условию задачи мы имеем два равенства:

1. $P(19) = a \cdot 19^3 + b \cdot 19^2 + c \cdot 19 + d = 1$

2. $P(62) = a \cdot 62^3 + b \cdot 62^2 + c \cdot 62 + d = 2$

Рассмотрим разность $P(62) - P(19)$. С одной стороны, она равна:

$P(62) - P(19) = 2 - 1 = 1$

С другой стороны, выразим эту разность через коэффициенты многочлена:

$P(62) - P(19) = (a \cdot 62^3 + b \cdot 62^2 + c \cdot 62 + d) - (a \cdot 19^3 + b \cdot 19^2 + c \cdot 19 + d)$

$P(62) - P(19) = a(62^3 - 19^3) + b(62^2 - 19^2) + c(62 - 19)$

Воспользуемся формулами разности кубов и разности квадратов:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Подставим их в наше выражение:

$P(62) - P(19) = a(62 - 19)(62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2) + b(62 - 19)(62 + 19) + c(62 - 19)$

Вынесем общий множитель $(62 - 19)$ за скобки:

$P(62) - P(19) = (62 - 19)[a(62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2) + b(62 + 19) + c]$

Вычислим разность в первой скобке:

$62 - 19 = 43$

Таким образом, получаем:

$P(62) - P(19) = 43 \cdot [a(62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2) + b(62 + 19) + c]$

Поскольку $a, b, c$ — целые числа по условию, и все операции (сложение, умножение) производятся над целыми числами (19, 62), то выражение в квадратных скобках является целым числом. Обозначим это целое число как $K$.

Тогда $P(62) - P(19) = 43 \cdot K$, где $K$ — некоторое целое число.

Это означает, что разность $P(62) - P(19)$ должна делиться нацело на 43.

Однако мы ранее выяснили, что $P(62) - P(19) = 1$.

Получается, что 1 должно делиться нацело на 43. Но это неверно.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что такие целые коэффициенты $a, b, c, d$ существуют, было ложным.

Ответ: Не существует многочлена с целыми коэффициентами $a, b, c, d$, который удовлетворял бы заданным условиям, что и требовалось доказать.

1216. Докажите, что если $y$ есть среднее арифметическое $x$ и $z$, то $x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - 4x^2y^2 + 4y^2z^2 = 0$.

Согласно условию задачи, $y$ является средним арифметическим $x$ и $z$. Это означает, что переменные связаны следующим соотношением:

$y = \frac{x+z}{2}$

Требуется доказать, что при выполнении этого условия справедливо равенство:

$x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - 4x^2y^2 + 4y^2z^2 = 0$

Для доказательства преобразуем левую часть этого равенства. Сгруппируем слагаемые:

$(x^4 - z^4) + (2x^3z - 2xz^3) - (4x^2y^2 - 4y^2z^2)$

Теперь разложим на множители каждую группу. Первую группу разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ дважды:

$x^4 - z^4 = (x^2-z^2)(x^2+z^2) = (x-z)(x+z)(x^2+z^2)$

Во второй и третьей группах вынесем общие множители за скобки:

$2x^3z - 2xz^3 = 2xz(x^2-z^2) = 2xz(x-z)(x+z)$

$4x^2y^2 - 4y^2z^2 = 4y^2(x^2-z^2) = 4y^2(x-z)(x+z)$

Подставим полученные разложения обратно в выражение и вынесем общий множитель $(x-z)(x+z)$ за скобки:

$(x-z)(x+z)(x^2+z^2) + 2xz(x-z)(x+z) - 4y^2(x-z)(x+z) = (x-z)(x+z)[(x^2+z^2) + 2xz - 4y^2]$

Выражение в квадратных скобках можно упростить. Заметим, что $x^2+2xz+z^2$ является полным квадратом суммы $(x+z)^2$.

$(x-z)(x+z)[(x+z)^2 - 4y^2]$

Теперь вернемся к исходному условию $y = \frac{x+z}{2}$. Из него следует, что $2y = x+z$. Возведя обе части в квадрат, получим $(2y)^2 = (x+z)^2$, то есть $4y^2 = (x+z)^2$.

Подставим $4y^2 = (x+z)^2$ в наше преобразованное выражение:

$(x-z)(x+z)[(x+z)^2 - (x+z)^2]$

Выражение в квадратных скобках равно нулю:

$(x-z)(x+z)[0] = 0$

Мы показали, что левая часть исходного равенства тождественно равна нулю при заданном условии. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение, что если $y$ есть среднее арифметическое $x$ и $z$, то $x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - 4x^2y^2 + 4y^2z^2 = 0$, является верным.

1217. Найдите все простые числа p и q, для которых $p^2 - 2q^2 = 1$.

Нам дано уравнение $p^2 - 2q^2 = 1$, где $p$ и $q$ — простые числа.

Рассмотрим возможные значения для $p$.

Случай 1: $p=2$.

Подставим $p=2$ в уравнение: $2^2 - 2q^2 = 1$, что дает $4 - 2q^2 = 1$. Отсюда $2q^2 = 3$, или $q^2 = 3/2$. Это уравнение не имеет решений в целых числах для $q$, следовательно, $p$ не может быть равно 2.

Случай 2: $p$ — нечетное простое число.

Поскольку $p$ — простое число, отличное от 2, оно должно быть нечетным. Значит, $p \ge 3$.

Перепишем исходное уравнение в виде $p^2 - 1 = 2q^2$. Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(p-1)(p+1) = 2q^2$

Так как $p$ — нечетное число, то $p-1$ и $p+1$ являются последовательными четными числами. Пусть $p-1=2k$ для некоторого целого $k$. Тогда $p+1 = (p-1)+2 = 2k+2 = 2(k+1)$.

Их произведение равно $(p-1)(p+1) = 2k \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$.

Поскольку $k$ и $k+1$ — последовательные целые числа, одно из них обязательно четное. Это означает, что их произведение $k(k+1)$ всегда делится на 2. Следовательно, произведение $(p-1)(p+1) = 4k(k+1)$ делится на $4 \cdot 2 = 8$.

Так как $(p-1)(p+1)$ делится на 8, то и правая часть уравнения, $2q^2$, должна делиться на 8. Это означает, что $q^2$ должно делиться на $8/2=4$.

Если $q^2$ делится на 4, то $q$ должно быть четным числом, то есть делиться на 2.

Поскольку $q$ — простое число и оно делится на 2, единственная возможность — это $q=2$.

Теперь, когда мы нашли значение $q$, подставим его в исходное уравнение, чтобы найти $p$:

$p^2 - 2(2^2) = 1$

$p^2 - 8 = 1$

$p^2 = 9$

Поскольку $p$ — простое число, оно должно быть положительным, поэтому $p=3$. Число 3 является простым.

Таким образом, единственная пара простых чисел, удовлетворяющая уравнению, это $p=3$ и $q=2$. Проверим: $3^2 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 8 = 1$.

Ответ: $p=3, q=2$.

1218. При каких значениях a, b, c и d является тождеством равенство

$5x^3 - 32x^2 + 75x - 71 = a(x - 2)^3 + b(x - 2)^2 + c(x - 2) + d?$

Для того чтобы данное равенство являлось тождеством, оно должно быть верным при любых значениях переменной x. Два многочлена тождественно равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Следовательно, мы раскроем скобки в правой части равенства, приведем подобные члены и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях.

Исходное тождество:

$5x^3 - 32x^2 + 75x - 71 = a(x - 2)^3 + b(x - 2)^2 + c(x - 2) + d$

Сначала раскроем выражения в скобках в правой части, используя формулы сокращенного умножения:

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

$(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Подставим эти раскрытые выражения обратно в правую часть равенства:

$a(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + b(x^2 - 4x + 4) + c(x - 2) + d$

Теперь раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням x:

$ax^3 - 6ax^2 + 12ax - 8a + bx^2 - 4bx + 4b + cx - 2c + d$

Сгруппированный многочлен в правой части имеет вид:

$ax^3 + (-6a + b)x^2 + (12a - 4b + c)x + (-8a + 4b - 2c + d)$

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x у многочлена в левой части ($5x^3 - 32x^2 + 75x - 71$) и у полученного многочлена в правой части. Это дает нам систему уравнений.

Коэффициент при $x^3$: $a = 5$

Коэффициент при $x^2$: $-6a + b = -32$

Коэффициент при $x$: $12a - 4b + c = 75$

Свободный член: $-8a + 4b - 2c + d = -71$

Решим эту систему последовательно.

Из первого уравнения мы сразу имеем $a = 5$.

Подставим $a = 5$ во второе уравнение, чтобы найти $b$:

$-6(5) + b = -32$

$-30 + b = -32$

$b = -2$

Подставим $a = 5$ и $b = -2$ в третье уравнение, чтобы найти $c$:

$12(5) - 4(-2) + c = 75$

$60 + 8 + c = 75$

$68 + c = 75$

$c = 7$

Наконец, подставим $a = 5$, $b = -2$ и $c = 7$ в четвертое уравнение, чтобы найти $d$:

$-8(5) + 4(-2) - 2(7) + d = -71$

$-40 - 8 - 14 + d = -71$

$-62 + d = -71$

$d = -9$

Таким образом, мы определили все искомые коэффициенты.

Ответ: $a=5, b=-2, c=7, d=-9$.

1219. Представьте многочлен $3x^3 + 7x^2 + 9x + 6$ в виде многочлена $ay^3 + by^2 + cy + d$, где $y = x + 1$.

Для того чтобы представить многочлен $P(x) = 3x^3 + 7x^2 + 9x + 6$ в виде многочлена от переменной $y$, где $y = x + 1$, необходимо выполнить замену переменной.

1. Сначала выразим $x$ через $y$ из заданного соотношения:

$y = x + 1 \implies x = y - 1$

2. Теперь подставим выражение для $x$ в исходный многочлен:

$P(y) = 3(y - 1)^3 + 7(y - 1)^2 + 9(y - 1) + 6$

3. Раскроем степени бинома $(y - 1)$:

$(y - 1)^2 = y^2 - 2y + 1$

$(y - 1)^3 = y^3 - 3 \cdot y^2 \cdot 1 + 3 \cdot y \cdot 1^2 - 1^3 = y^3 - 3y^2 + 3y - 1$

4. Подставим раскрытые выражения обратно в многочлен и раскроем скобки:

$P(y) = 3(y^3 - 3y^2 + 3y - 1) + 7(y^2 - 2y + 1) + 9(y - 1) + 6$

$P(y) = 3y^3 - 9y^2 + 9y - 3 + 7y^2 - 14y + 7 + 9y - 9 + 6$

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$P(y) = 3y^3 + (-9y^2 + 7y^2) + (9y - 14y + 9y) + (-3 + 7 - 9 + 6)$

$P(y) = 3y^3 - 2y^2 + 4y + 1$

Таким образом, исходный многочлен представлен в виде $ay^3 + by^2 + cy + d$, где коэффициенты $a=3$, $b=-2$, $c=4$, $d=1$.

Ответ: $3y^3 - 2y^2 + 4y + 1$

1220. При каких натуральных значениях $x$ и $y$ верно равенство $3x + 7y = 23$?

Требуется найти натуральные значения $x$ и $y$ для уравнения $3x + 7y = 23$. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \dots$).

Данное уравнение является линейным диофантовым уравнением. Чтобы найти его решения в натуральных числах, можно выразить одну переменную через другую и провести анализ полученного выражения. Эффективнее выражать переменную с меньшим коэффициентом, но в данном случае разница невелика. Выразим $x$ через $y$:

$3x = 23 - 7y$

$x = \frac{23 - 7y}{3}$

Так как $x$ и $y$ по условию являются натуральными числами, то $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Из неравенства $x \ge 1$ следует:

$\frac{23 - 7y}{3} \ge 1$

$23 - 7y \ge 3$

$20 \ge 7y$

$y \le \frac{20}{7}$ или $y \le 2\frac{6}{7}$.

Учитывая, что $y$ — натуральное число, возможными значениями для $y$ являются $1$ и $2$.

Теперь необходимо проверить каждое из этих значений, чтобы найти соответствующее натуральное значение $x$.

Случай 1: $y = 1$

Подставим $y = 1$ в выражение для $x$:

$x = \frac{23 - 7(1)}{3} = \frac{16}{3}$

Значение $x = \frac{16}{3}$ не является целым, а значит, и не является натуральным. Следовательно, эта пара чисел не является решением.

Случай 2: $y = 2$

Подставим $y = 2$ в выражение для $x$:

$x = \frac{23 - 7(2)}{3} = \frac{23 - 14}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Значение $x = 3$ является натуральным числом. Таким образом, пара $(x, y) = (3, 2)$ является решением.

Так как мы проверили все возможные натуральные значения для $y$, других решений в натуральных числах нет.

Выполним проверку: $3(3) + 7(2) = 9 + 14 = 23$. Равенство верно.

Ответ: $x=3$, $y=2$.

1221. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x - y = -1, \\ y - z = -1, \\ z + x = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = -3, \\ y + z = 6, \\ z + x = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y + 2z = 1, \\ x - y - z = -2, \\ 2x - y + z = -1. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = -1, & (1) \\ y - z = -1, & (2) \\ z + x = 8. & (3) \end{cases} $

Самый простой способ решить данную систему — сложить все три уравнения. Это позволит нам сократить переменные $y$ и $z$.

$(x - y) + (y - z) + (z + x) = -1 + (-1) + 8$

$x - y + y - z + z + x = 6$

$2x = 6$

$x = 3$

Теперь, когда мы знаем значение $x$, мы можем подставить его в уравнения (1) и (3), чтобы найти $y$ и $z$.

Подставим $x = 3$ в первое уравнение:

$3 - y = -1$

$-y = -1 - 3$

$-y = -4$

$y = 4$

Подставим $x = 3$ в третье уравнение:

$z + 3 = 8$

$z = 8 - 3$

$z = 5$

Проверим найденные значения, подставив их во второе уравнение:

$y - z = 4 - 5 = -1$. Равенство верно.

Ответ: $(3; 4; 5)$

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -3, & (1) \\ y + z = 6, & (2) \\ z + x = 1. & (3) \end{cases} $

Как и в предыдущем случае, сложим все три уравнения:

$(x + y) + (y + z) + (z + x) = -3 + 6 + 1$

$2x + 2y + 2z = 4$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x + y + z = 2$ (4)

Теперь мы можем вычесть каждое из исходных уравнений из полученного уравнения (4), чтобы найти каждую переменную.

Вычтем уравнение (1) из уравнения (4):

$(x + y + z) - (x + y) = 2 - (-3)$

$z = 5$

Вычтем уравнение (2) из уравнения (4):

$(x + y + z) - (y + z) = 2 - 6$

$x = -4$

Вычтем уравнение (3) из уравнения (4):

$(x + y + z) - (z + x) = 2 - 1$

$y = 1$

Ответ: $(-4; 1; 5)$

в) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y + 2z = 1, & (1) \\ x - y - z = -2, & (2) \\ 2x - y + z = -1. & (3) \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от переменных $x$ и $y$ и найти $z$.

$(x - y + 2z) - (x - y - z) = 1 - (-2)$

$x - y + 2z - x + y + z = 1 + 2$

$3z = 3$

$z = 1$

Теперь подставим значение $z = 1$ в исходную систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y + 2(1) = 1 \\ 2x - y + 1 = -1 \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} x - y = -1, & (4) \\ 2x - y = -2. & (5) \end{cases} $

Теперь решим эту систему двух уравнений. Вычтем уравнение (4) из уравнения (5):

$(2x - y) - (x - y) = -2 - (-1)$

$2x - y - x + y = -2 + 1$

$x = -1$

Подставим найденное значение $x = -1$ в уравнение (4), чтобы найти $y$.

$-1 - y = -1$

$-y = -1 + 1$

$-y = 0$

$y = 0$

Проверим найденные значения $x=-1, y=0, z=1$ в третьем исходном уравнении:

$2(-1) - 0 + 1 = -2 + 1 = -1$. Равенство верно.

Ответ: $(-1; 0; 1)$

1222. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату двузначного числа и кубу однозначного числа.

Пусть искомое число — это $N$. По условию задачи, $N$ должно быть трёхзначным числом, то есть находиться в диапазоне от 100 до 999. Также $N$ должно одновременно являться квадратом некоторого двузначного числа (обозначим его $a$) и кубом некоторого однозначного числа (обозначим его $b$).

Таким образом, мы ищем число $N$, для которого выполняются следующие условия:

• $100 \le N \le 999$
• $N = a^2$, где $a$ — двузначное число ($10 \le a \le 99$)
• $N = b^3$, где $b$ — однозначное число ($1 \le b \le 9$)

Проще всего начать с проверки кубов однозначных чисел, так как их всего девять. Вычислим кубы для всех возможных значений $b$:

• $1^3 = 1$
• $2^3 = 8$
• $3^3 = 27$
• $4^3 = 64$
• $5^3 = 125$
• $6^3 = 216$
• $7^3 = 343$
• $8^3 = 512$
• $9^3 = 729$

Теперь из полученного списка выберем те числа, которые являются трёхзначными: $125, 216, 343, 512, 729$. Далее проверим каждое из этих чисел: является ли оно квадратом двузначного числа.

• $125$: $\sqrt{125}$ не является целым числом, значит, 125 не является полным квадратом.
• $216$: $\sqrt{216}$ не является целым числом, значит, 216 не является полным квадратом.
• $343$: $\sqrt{343}$ не является целым числом, значит, 343 не является полным квадратом.
• $512$: $\sqrt{512}$ не является целым числом, значит, 512 не является полным квадратом.
• $729$: $\sqrt{729} = 27$. Число 27 является двузначным.

Итак, мы нашли число 729. Оно удовлетворяет всем условиям задачи:

1. Это трёхзначное число.
2. Это квадрат двузначного числа: $729 = 27^2$.
3. Это куб однозначного числа: $729 = 9^3$.

Ответ: 729.

Пусть искомые натуральные числа — это $a$ и $b$.

Согласно условиям задачи, их сумма равна 168, а их наибольший общий делитель (НОД) равен 24. Запишем это в виде системы условий:
$a + b = 168$
$НОД(a, b) = 24$

Из того, что $НОД(a, b) = 24$, следует, что оба числа, $a$ и $b$, делятся на 24 без остатка. Следовательно, их можно представить в виде произведений:
$a = 24 \cdot x$
$b = 24 \cdot y$
Здесь $x$ и $y$ — это натуральные числа, которые являются взаимно простыми, то есть $НОД(x, y) = 1$. Это обязательное условие, так как если бы $x$ и $y$ имели общий делитель $d > 1$, то $НОД(a, b)$ был бы равен $24 \cdot d$, что противоречило бы условию задачи.

Теперь подставим эти выражения в первое уравнение, описывающее сумму чисел:
$24x + 24y = 168$

Вынесем общий множитель 24 за скобки:
$24(x + y) = 168$

Чтобы найти сумму $x + y$, разделим обе части уравнения на 24:
$x + y = \frac{168}{24} = 7$

Теперь нам необходимо найти все пары натуральных и взаимно простых чисел $x$ и $y$, сумма которых равна 7. Чтобы избежать дублирования пар искомых чисел ($a, b$), будем рассматривать только те пары $(x, y)$, в которых $x < y$.

• Пара 1: $x = 1, y = 6$. Сумма: $1+6=7$. Проверяем взаимную простоту: $НОД(1, 6) = 1$. Эта пара подходит.
• Пара 2: $x = 2, y = 5$. Сумма: $2+5=7$. Проверяем взаимную простоту: $НОД(2, 5) = 1$. Эта пара подходит.
• Пара 3: $x = 3, y = 4$. Сумма: $3+4=7$. Проверяем взаимную простоту: $НОД(3, 4) = 1$. Эта пара подходит.

Мы получили три возможные пары для $(x, y)$. Теперь для каждой из них вычислим искомые числа $a$ и $b$.

1. Для пары $x=1, y=6$:
$a = 24 \cdot 1 = 24$
$b = 24 \cdot 6 = 144$
Первая пара чисел: 24 и 144.

2. Для пары $x=2, y=5$:
$a = 24 \cdot 2 = 48$
$b = 24 \cdot 5 = 120$
Вторая пара чисел: 48 и 120.

3. Для пары $x=3, y=4$:
$a = 24 \cdot 3 = 72$
$b = 24 \cdot 4 = 96$
Третья пара чисел: 72 и 96.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют три пары натуральных чисел.

Ответ: 24 и 144; 48 и 120; 72 и 96.

1224. Найдите все пары простых чисел, которые являются решениями уравнения $x + y = 26$.

Необходимо найти все пары простых чисел $x$ и $y$, для которых выполняется равенство $x + y = 26$.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Сумма $x+y$ равна 26, что является чётным числом. Сумма двух простых чисел чётна в двух случаях:

1. 1. Оба числа чётные. Единственное чётное простое число — это 2. В этом случае $x+y = 2+2=4$, что не равно 26.
2. 2. Оба числа нечётные. Этот случай нам подходит. Следовательно, нам нужно найти пары нечётных простых чисел, сумма которых равна 26.

Будем последовательно перебирать пары, где первое число — нечётное простое, и проверять, является ли второе число также простым. Выразим $y$ из уравнения: $y = 26 - x$.

Проверим по порядку нечётные простые числа для $x$:

• Если $x=3$, то $y = 26 - 3 = 23$. Число 23 является простым, значит, пара (3, 23) — решение.

• Если $x=5$, то $y = 26 - 5 = 21$. Число 21 не является простым, так как $21 = 3 \cdot 7$, поэтому эта пара не является решением.

• Если $x=7$, то $y = 26 - 7 = 19$. Число 19 является простым, значит, пара (7, 19) — решение.

• Если $x=11$, то $y = 26 - 11 = 15$. Число 15 не является простым, так как $15 = 3 \cdot 5$, поэтому эта пара не является решением.

• Если $x=13$, то $y = 26 - 13 = 13$. Число 13 является простым, значит, пара (13, 13) — решение.

Дальнейший перебор для $x > 13$ будет давать те же самые пары чисел, но в другом порядке, так как уравнение симметрично ($x+y = y+x$). Например, если $x=19$, то $y=7$, а если $x=23$, то $y=3$. Таким образом, мы нашли все возможные пары.

Полный список пар простых чисел, являющихся решениями уравнения:

Ответ: (3, 23), (7, 19), (13, 13), (19, 7), (23, 3).