Номер 1208, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1208, страница 234.

Условие.

1208. Разложите на множители многочлен:

а) $x^8 + x^4 - 2;$

б) $a^5 - a^2 - a - 1;$

в) $n^4 + 4;$

г) $n^4 + n^2 + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) $x^8 + x^4 - 2$

Этот многочлен является биквадратным относительно $x^4$. Сделаем замену переменной, пусть $y = x^4$. Тогда выражение примет вид квадратного трехчлена:

$y^2 + y - 2$

Разложим этот трехчлен на множители. Найдем корни уравнения $y^2 + y - 2 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно -2, а их сумма равна -1. Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Следовательно, разложение имеет вид: $(y - 1)(y - (-2)) = (y - 1)(y + 2)$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $y = x^4$:

$(x^4 - 1)(x^4 + 2)$

Первый множитель, $x^4 - 1$, можно разложить дальше как разность квадратов, поскольку $x^4 = (x^2)^2$ и $1 = 1^2$:

$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$

Множитель $x^2 - 1$ также является разностью квадратов:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Собирая все полученные множители вместе, получаем окончательное разложение исходного многочлена:

$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)$.

б) $a^5 - a^2 - a - 1$

Для разложения этого многочлена применим метод группировки. Переставим слагаемые и сгруппируем их следующим образом:

$a^5 - a^2 - a - 1 = (a^5 - a) - (a^2 + a + 1)$

Это неверный путь. Попробуем другую группировку. Добавим и вычтем $a$:

$a^5 - a^2 - a - 1 = a^5 - a - a^2 - 1$

Сгруппируем слагаемые: $(a^5 - a) - (a^2 + 1)$.

Из первой группы вынесем общий множитель $a$:

$a(a^4 - 1) - (a^2 + 1)$

Выражение $a^4 - 1$ является разностью квадратов, $a^4 - 1 = (a^2 - 1)(a^2 + 1)$. Подставим это в наше выражение:

$a(a^2 - 1)(a^2 + 1) - (a^2 + 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(a^2 + 1)$, который можно вынести за скобку:

$(a^2 + 1) \cdot [a(a^2 - 1) - 1]$

Раскроем скобки во втором множителе:

$(a^2 + 1)(a^3 - a - 1)$

Ответ: $(a^2 + 1)(a^3 - a - 1)$.

в) $n^4 + 4$

Для разложения этого выражения воспользуемся методом выделения полного квадрата. Для этого добавим и вычтем слагаемое $4n^2$:

$n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2$

Первые три слагаемых образуют полный квадрат суммы $(n^2 + 2)^2$:

$(n^4 + 4n^2 + 4) - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - 4n^2$

Теперь мы получили разность квадратов, так как $4n^2 = (2n)^2$. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = n^2 + 2$ и $B = 2n$:

$((n^2 + 2) - 2n)((n^2 + 2) + 2n)$

Запишем слагаемые в стандартном порядке:

$(n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$

Ответ: $(n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$.

г) $n^4 + n^2 + 1$

Этот многочлен также раскладывается на множители методом выделения полного квадрата. Чтобы получить полный квадрат из выражения $n^4 + 1$, нам не хватает слагаемого $2n^2$. Представим $n^2$ как $2n^2 - n^2$:

$n^4 + n^2 + 1 = n^4 + 2n^2 + 1 - n^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат $(n^2 + 1)^2$:

$(n^4 + 2n^2 + 1) - n^2 = (n^2 + 1)^2 - n^2$

Мы получили разность квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = n^2 + 1$ и $B = n$:

$((n^2 + 1) - n)((n^2 + 1) + n)$

Упорядочим слагаемые в каждом множителе:

$(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$

Ответ: $(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$.