Номер 1207, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1207, страница 233.

Условие.

1207. Если $x \neq 0$ или $y \neq 0$, то значение выражения $15x^2 - 18xy + 15y^2$ положительно. Докажите это.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для доказательства того, что выражение $15x^2 - 18xy + 15y^2$ положительно при условии, что $x \neq 0$ или $y \neq 0$, мы преобразуем данное выражение, выделив полные квадраты.

Исходное выражение: $15x^2 - 18xy + 15y^2$.

Представим коэффициенты 15 как сумму $9+6$:

$15x^2 - 18xy + 15y^2 = (9x^2 + 6x^2) - 18xy + (9y^2 + 6y^2)$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат:

$(9x^2 - 18xy + 9y^2) + 6x^2 + 6y^2$

Выражение в скобках является полным квадратом разности, умноженным на 9:

$9x^2 - 18xy + 9y^2 = 9(x^2 - 2xy + y^2) = 9(x-y)^2$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде суммы трех слагаемых:

$15x^2 - 18xy + 15y^2 = 9(x-y)^2 + 6x^2 + 6y^2$

Проанализируем полученное выражение. Каждое из слагаемых является неотрицательным для любых действительных значений $x$ и $y$:
$9(x-y)^2 \ge 0$
$6x^2 \ge 0$
$6y^2 \ge 0$

Сумма нескольких неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых равно нулю. Найдем, при каких условиях это происходит:
1) $9(x-y)^2 = 0 \implies x=y$
2) $6x^2 = 0 \implies x=0$
3) $6y^2 = 0 \implies y=0$
Все три условия выполняются одновременно только при $x=0$ и $y=0$.

По условию задачи, $x \neq 0$ или $y \neq 0$, что означает, что $x$ и $y$ не равны нулю одновременно. Следовательно, случай $x=0, y=0$ исключен.

Поскольку выражение равно нулю только при $x=y=0$, а во всех остальных случаях оно неотрицательно (как сумма неотрицательных слагаемых), то при условии, что $x$ и $y$ не равны нулю одновременно, выражение будет строго положительным.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $15x^2 - 18xy + 15y^2$ было преобразовано к виду $9(x-y)^2 + 6x^2 + 6y^2$. Эта сумма является суммой неотрицательных слагаемых и равна нулю только при $x=0$ и $y=0$. Так как по условию $x$ и $y$ не равны нулю одновременно, значение выражения всегда строго больше нуля.