Номер 1205, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1205, страница 233.

Условие.

1205. Что больше: $\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1}$ или $\frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы определить, какое из двух выражений больше, сравним дроби $\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1}$ и $\frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1}$.

Наиболее прямым способом является метод перекрестного умножения. Для сравнения двух положительных дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ нужно сравнить произведения $a \cdot d$ и $b \cdot c$.

• Если $a \cdot d > b \cdot c$, то $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$.
• Если $a \cdot d < b \cdot c$, то $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.

В нашем случае пусть:

$a = 10^{10} + 1$

$b = 10^{11} + 1$

$c = 10^{11} + 1$

$d = 10^{12} + 1$

Найдем и сравним произведения $ad$ и $bc$.

Произведение $ad$ равно:

$ad = (10^{10} + 1)(10^{12} + 1) = 10^{10} \cdot 10^{12} + 10^{10} \cdot 1 + 1 \cdot 10^{12} + 1 \cdot 1 = 10^{22} + 10^{12} + 10^{10} + 1$

Произведение $bc$ равно:

$bc = (10^{11} + 1)(10^{11} + 1) = (10^{11} + 1)^2 = (10^{11})^2 + 2 \cdot 10^{11} \cdot 1 + 1^2 = 10^{22} + 2 \cdot 10^{11} + 1$

Теперь сравним полученные выражения:

$10^{22} + 10^{12} + 10^{10} + 1$ и $10^{22} + 2 \cdot 10^{11} + 1$

Из обоих выражений можно вычесть общие слагаемые $10^{22}$ и $1$. Тогда задача сводится к сравнению следующих чисел:

$10^{12} + 10^{10}$ и $2 \cdot 10^{11}$

Чтобы упростить сравнение, вынесем за скобки общий множитель $10^{10}$ (наименьшую степень десятки):

$10^{10}(10^2 + 1)$ и $10^{10}(2 \cdot 10^1)$

Проведем вычисления в скобках:

$10^{10}(100 + 1)$ и $10^{10}(20)$

$101 \cdot 10^{10}$ и $20 \cdot 10^{10}$

Так как $101 > 20$, то и произведение $101 \cdot 10^{10}$ больше, чем $20 \cdot 10^{10}$.

Таким образом, мы доказали, что $ad > bc$. Это означает, что первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1}$ больше, чем $\frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1}$.